<T->
          Matemtica e realidade
          8 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1067-0
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2010. 
          Rua Henrique Schaumann, 
          270 -- Pinheiros 
          05413-010 -- So Paulo -- SP 
          Fone: (11) 3613-3000 
          Fax: (11) 3611-3308 
          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                              I
          Dados Internacionais de
          Catalogao na Publicao 
          (CIP) 
          (Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Iezzi, Gelson 
  Matemtica e realidade : 8 
 ano / Gelson Iezzi, Osvaldo 
 Dolce, Antonio Machado. -- 
 6. ed. -- So Paulo : Atual, 
 2009. 

  ISBN 978-85-357-1067-0 (aluno)
  ISBN 978-85-357-1068-7 (professor)

  1. Matemtica (Ensino funda-
 mental) 2. Matemtica -- 
 Problemas exerccios etc. 
 (Ensino fundamental) I.
 Dolce, Osvaldo. II. Machado, 
 Antonio. III. Ttulo.

09-01248           CDD-372.#g

          ndice para catlogo 
          sistemtico:

 1. Matemtica : Ensino 
  fundamental 372.#g
<p>
                            III
Gelson Iezzi

<R+>
Engenheiro metalrgico pela Escola Politcnica da USP 
 Licenciado pelo Instituto de Matemtica e Estatstica da USP 
<R->

Osvaldo Dolce

<R+>
Engenheiro civil pela Escola Politcnica da USP 
 Professor efetivo da rede pblica estadual de So Paulo 
<R->

Antonio Machado

<R+>
Licenciado em Matemtica e Mestre em Estatstica pelo Instituto de Matemtica e Estatstica da USP 
 Professor de escolas particulares de So Paulo 
<R->
<p>
<p>
                               V
Apresentao 

  Esta  a mais nova edio desta coleo de Matemtica. 
  Por se tratar de uma obra com finalidade didtica, esta coleo procura apresentar a teoria de maneira lgica e em linguagem acessvel ao aluno do 6 a 9 anos do ensino fundamental. 
  Entre duas doses de teoria h duas sries de exerccios: uma para ser resolvida em classe e outra para ser resolvida em casa ou em classe, a critrio do professor. Nas sries de exerccios e na introduo de alguns captulos aparecem tambm situaes-problema, ligadas quase sempre  realidade cotidiana.
  Ao fim de cada unidade (conjunto de captulos sobre o mesmo tema matemtico), existe uma srie de testes em que o aluno pode medir seu aproveitamento.
<P>
  Ao longo do livro so propostos problemas-desafio. O objetivo desses problemas  colocar os alunos diante de situaes novas, inesperadas, que os levem a analisar, pensar e desenvolver a iniciativa, de forma leve, divertida e espontnea. 
  Existe ainda na coleo a seo de leitura "Matemtica em not-
cia", em que a reproduo de um texto de jornal ou revista, ligado  Matemtica, procura mostrar que a aplicao do conhecimento adquirido  essencial para o acesso aos meios de comunicao. 
  Em outra seo de leitura, "Matemtica no tempo", o aluno entra em contato com a interessante histria das descobertas matemticas por meio da abordagem de um tema ligado ao assunto que foi estudado. 
  Esperamos que voc goste deste livro e que aceite nossa companhia nesta viagem de descoberta dos nmeros e das formas. Se quiser expressar sua opinio -- seja ela 
<p>
                            VII
qual for -- a respeito desta obra, escreva para a editora. Teremos muita satisfao de saber o que voc pensa. 

Bons estudos! 

Os autores
<p>
<p>
                             IX
Agradecimentos 

  Consignamos nossa mais sincera gratido aos colegas pelo apoio recebido durante a elaborao deste trabalho. 

<R+>
Affonso Luiz Reyz de Paula Neves; 
Alvaro Zimmermann 
  Aranha; Ambrogina L. Pozzi Cesar; Ana Maria de Souza Almeida Matos; ngela Maria de Carvalho Barroso; Antonio Loureno de Oliveira; Antonio Renato de Paula Pessoa; 
  Arnaldo Mendona; Augusto C. O. Morgado; Brbara Lutaif; Carlos Balbino Pelegrinelli; Cesar Augusto Soares; Cesar Soares dos Reis; Cleister Alves Cordeiro; Danilo 
  Carvalho Villela; Dylson 
  Faria Lima; Edna Maria C. Conceio; Eldon Nogueira de Albuquerque; Elias Veiga; 
  Elisabete Longo Santiago; El-Mani Gomes; Elon Lages 
<p>
  Lima; Evaldo Ribeiro da 
  Cunha; Fernando Jos Campps Lavall; Fernando Willer Klein de Aquino; Flvio 
  Leite Mota; Francisco 
  Guilherme da Silva; Gracia Tereza Bittencourt Martins; Helena Maria Tonet; 
  Henriette Tognetti Penha 
  Morato; Hiroko Ando; Hugo Jos Nascimento; Iguatemi Coquinot de Alcntara Nunes; Irene Torrano Filisetti; 
  Izelda Maciel Ramos; Jaine Rita Celentano Lino; Joo Alfredo Sampaio; Joo 
  Dionsio Amorim; Joo dos Reis Neto; Joo Pereira dos Santos; Joaquim Serafim da Paz; Jos Cardoso; Jos Fonseca Jnior; Jos 
  Geraldo; Jos Jorge Chama; Jos Wightnan de Carvalho; Judite David; Jlia Hosi; Leonor Farsic Fic; Luciano de Oliveira; Luiz Angelo 
  Marengo; Luiz Jos de 
  Macedo; Manoel Benedito 
<p>
                             XI
Rodrigues; Manuel Maria 
  Loureno de Sousa; Marcelo Antnio Ferreira; Maria 
  Aparecida Olivares Pusas Santos; Maria Aparecida 
  Simes Okamura; Maria 
  Consuelo G. B. da Silva; Maria Jos R. Pereira; 
  Marisa Ortegosa da Cunha; Martha Helena Franco de 
  Andrade; Mercs Edith Dubeux Beltro; Messias Rosa do Nascimento; Milton Carvalho Barbosa; Mitiko Imoto 
  Kawata; Nelson Jos Correia; Nilze Silveira de Almeida; Orozimbo Marinho de Almeida; Oscar Augusto Guelli Neto; Otaviano Alves; Pelegrino P. Dinard; Plnio Jos 
  Oliveira; Regina Clia 
  Santiago do Amaral Carvalho; Rmulo Pifano; Ronaldo 
  Schubert Souto; Rosngela de Ftima dos Reis Silva; 
  Sergio Augusto Seplveda 
  Figueiredo; Sidney Tognini 
<p>
  Martos; Silvia de Lima Guitti Oliveira; 
Silvia 
  Helena Augusto; Valria 
  Arajo Barbosa; Vanda 
  Cotosck; Vicente Carelli; Vilma Cotosck; Walfrido 
  Diniz Gattoni; Wancleber 
  Pacheco; Wilson Jos da 
  Silva; Yoshiko Yamamoto Nukai.
<R->
<p>
                           XIII
Seu livro em braille

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s outras, separadas), o seu livro em braille apresenta descries substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so explicadas, procurando fazer voc compreender o que elas representam.
  Dicas para estudar no seu livro em braille:
<R+>
<F->
1 -- As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver estudando com outros colegas.
2 -- Quando voc encontrar o sinal _`[ e, depois dele, uma frase terminada pelo sinal _`] saiba que se trata de uma explicao especial chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille.
3 -- Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos.
4 -- Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a outra pessoa capaz de esclarec-lo.
<F+>
<R->
<p>
                             XV
<F->
Sumrio Geral

Primeira Parte
 
Unidade 1 -- Nmeros 
  reais 
Captulo 1- Revendo
  nmeros ::::::::::::::::: 1 
Nmeros naturais ::::::::: 4
Nmeros inteiros ::::::::: 5 
Nmeros racionais :::::::: 7 
Transformando frao em 
  decimal ::::::::::::::::: 8
Decimal exato ou 
  dzima? ::::::::::::::::: 11
Calculando a geratriz :::: 16
Captulo 2- Os nmeros 
  reais e a reta :::::::::: 25
Nmeros inteiros ::::::::: 25
Nmeros racionais no 
  inteiros :::::::::::::::: 25
Nmeros irracionais :::::: 28
Nmeros reais :::::::::::: 32
Representao dos 
  conjuntos numricos ::::: 34
Valor absoluto ::::::::::: 38
<p>
Comparao de nmeros 
  reais ::::::::::::::::::: 42
Operaes em R :::::::::: 49
Propriedades das operaes 
  em R ::::::::::::::::::: 52
O erro cometido numa 
  aproximao ::::::::::::: 55
Matemtica no tempo -- 
  Nmeros racionais e 
  irracionais ::::::::::::: 70

Unidade 2 -- Potenciao  
  e radiciao
Captulo 3- Potncia de 
  base real e expoente 
  inteiro ::::::::::::::::: 77
Recordando potncias ::::: 78
Clculo de potncias ::::: 81
Expoente inteiro maior 
  que 1 :::::::::::::::::: 82
Expoente 1 :::::::::::::: 82
Expoente zero :::::::::::: 83
Expoente inteiro 
  negativo :::::::::::::::: 83
Potncias de 10 e a 
  notao cientfica :::::: 92
Expoente positivo :::::::: 92
Expoente negativo :::::::: 95
<p>
                           XVII
Propriedades das 
  potncias ::::::::::::::: 99

Segunda Parte

Unidade 2 -- Potenciao  
  e radiciao
Captulo 4- Raiz 
  quadrada :::::::::::::::: 117
Raiz quadrada 
  aritmtica :::::::::::::: 118 
Extrao de raiz quadrada 
  aproximada :::::::::::::: 123 
Extrao de raiz quadrada 
  por decomposio em 
  fatores primos :::::::::: 130
Razes de fraes :::::::: 137 
Curiosidade: como era a 
  extrao da raiz 
  quadrada :::::::::::::::: 148
Resto :::::::::::::::::::: 148
Algoritmo da raiz 
  quadrada :::::::::::::::: 149
Mtodo de Heron ::::::::: 152
<p>
Unidade 3 -- Segmentos, 
  ngulos e tringulos
Captulo 5- 
  Segmentos :::::::::::::: 158
Segmento de reta ::::::::: 159
Transporte de 
  segmentos ::::::::::::::: 160
Congruncia de 
  segmentos ::::::::::::::: 162
Medida de um segmento :::: 163 
Ponto mdio de um 
  segmento :::::::::::::::: 165
Uso do esquadro :::::::::: 167
Captulo 6- ngulos :::: 175
Semirreta :::::::::::::::: 175
O que  ngulo? :::::::::: 175
Transporte de ngulos :::: 177
Congruncia de ngulos ::: 179
Medida e congruncia de 
  ngulos ::::::::::::::::: 180
Nomes dados aos 
  ngulos ::::::::::::::::: 183
Bissetriz de um ngulo ::: 185
Semirreta interna a um 
  ngulo :::::::::::::::::: 185
Bissetriz :::::::::::::::: 187
Captulo 7- Retas 
  coplanares :::::::::::::: 196
<p>
                            XIX
Retas coplanares ::::::::: 196
Posies relativas de duas 
  retas ::::::::::::::::::: 197
ngulos opostos pelo 
  vrtice (o. p. v.) :::: 199
Propriedades dos ngulos 
  opostos pelo vrtice :::: 201 
ngulos de duas retas 
  concorrentes: resumo :::: 204
Caso especial: retas 
  perpendiculares ::::::::: 205
ngulos de duas retas com 
  uma transversal ::::::::: 213
1 propriedade ::::::::::: 218
2 propriedade (Axioma  
  de Euclides) :::::::::: 219
3 propriedade ::::::::::: 219
Concluses prticas :::::: 221
Captulo 8- 
  Tringulos ::::::::::::: 234
Tringulo :::::::::::::::: 234
Classificao dos 
  tringulos quanto aos 
  lados ::::::::::::::::::: 237
Desigualdade 
  triangular :::::::::::::: 238
<p>
Captulo 9- Soma dos 
  ngulos de um 
  tringulo ::::::::::::::: 246
Propriedade da soma dos 
  ngulos dos 
  tringulos :::::::::::::: 248 
Classificao dos 
  tringulos quanto aos 
  ngulos ::::::::::::::::: 251
ngulo externo e sua 
  propriedade ::::::::::::: 253

Terceira Parte

Unidade 3 -- Segmentos, 
  ngulos e tringulos
Captulo 10- Congruncia 
  de tringulos ::::::::::: 265 
Conceito matemtico de 
  congruncia ::::::::::::: 270 
Casos de congruncia ::::: 276 
Caso {l{a{l (Lado -- 
  ngulo -- Lado) :::::: 278 
Caso {a{l{a (ngulo --
  Lado -- ngulo) :::::: 280 
Caso {l{l{l (Lado -- 
   Lado -- Lado) ::::::: 283 
<p>
                             XXI
Caso {l{a{ao (Lado --  
  ngulo adjacente -- 
  ngulo oposto) :::::::: 284
Caso especial: tringulos 
  retngulos :::::::::::::: 286
Captulo 11- Pontos 
  notveis do tringulo ::: 292
Medianas e baricentro :::: 292
Bissetrizes e incentro ::: 294
Alturas e ortocentro ::::: 295 
Mediatrizes e 
  circuncentro :::::::::::: 299
Captulo 12- Tringulos 
  issceles/Tringulos
  equilteros ::::::::::::: 309
Tringulos issceles ::::: 309
Propriedades dos 
  tringulos issceles :::: 310
Propriedade recproca :::: 314  
Propriedades dos  
  tringulos 
  equilteros ::::::::::::: 316
Matemtica no tempo -- 
  Origens da 
  Geometria :::::::::::::: 340
<p>
Unidade 4 -- Estatstica
Captulo 13- Mdias :::: 347
Mdia aritmtica ::::::::: 348
Mdia ponderada :::::::::: 349 
Vamos interpretar a 
  mdia ::::::::::::::::::: 351  
Mdia geomtrica ::::::::: 356
Clculo da mdia numa 
  tabela de frequncias ::: 366

Quarta Parte

Unidade 5 -- Clculo 
  algbrico
Captulo 14- Expresses 
  algbricas :::::::::::::: 389 
Expresses contendo 
  letras :::::::::::::::::: 391  
Valor numrico ::::::::::: 395
Polinmios ::::::::::::::: 403
Polinmio com uma 
  varivel :::::::::::::::: 409
Grau de um polinmio com 
  uma varivel :::::::::::: 410
Captulo 15- Operaes 
  com polinmios :::::::::: 415
Adio ::::::::::::::::::: 416
Subtrao :::::::::::::::: 420 
<p>
                           XXIII
Oposto de um polinmio ::: 420
Diferena de 
  polinmios :::::::::::::: 421 
Multiplicao :::::::::::: 425
Monmio  monmio :::::::: 425
Monmio  polinmio :::::: 426
Polinmio  polinmio :::: 428
Multiplicao de trs ou 
  mais polinmios ::::::::: 434
Diviso :::::::::::::::::: 439
Monmio  monmio :::::::: 440 
Polinmio  monmio :::::: 442
Polinmio  polinmio :::: 444
Matemtica no tempo -- A 
  lgebra literal ::::::::: 457

Unidade 6 -- Produtos 
  notveis e fatorao
Captulo 16- Produtos 
  notveis :::::::::::::::: 465
Quadrado da soma de dois 
  termos :::::::::::::::::: 466 
Quadrado da diferena de 
  dois termos ::::::::::::: 473
<p>
Produto da soma pela 
  diferena de dois 
  termos :::::::::::::::::: 478 
Identidades :::::::::::::: 485 

Quinta Parte

Unidade 6 -- Produtos 
  notveis e fatorao
Captulo 17- Fatorao  
  de polinmios ::::::::::: 491 
Frao algbrica e 
  simplificao ::::::::::: 492 
Fatorao :::::::::::::::: 495 
Colocando fator comum em 
  evidncia ::::::::::::::: 496 
Fatorao por 
  agrupamento ::::::::::::: 504
Quadrados perfeitos :::::: 510
Fatorando uma diferena de 
  dois quadrados :::::::::: 511  
Trinmio quadrado 
  perfeito :::::::::::::::: 519
Operaes com fraes 
  algbricas :::::::::::::: 528
Adio e subtrao ::::::: 528
Multiplicao e 
  diviso ::::::::::::::::: 530
<p>
                             XXV
Unidade 7 -- 
  Quadrilteros
Captulo 18- 
  Quadrilteros: noes 
  gerais :::::::::::::::::: 543
Reconhecendo 
  quadrilteros ::::::::::: 543
Conceito e elementos ::::: 544
Permetro :::::::::::::::: 548
Quadriltero convexo e 
  quadriltero cncavo :::: 548
Soma dos ngulos de um 
  quadriltero :::::::::::: 550
Quadrilteros notveis ::: 556
Trapzio ::::::::::::::::: 556 
Paralelogramo :::::::::::: 559
Losango :::::::::::::::::: 560
Retngulo :::::::::::::::: 561
Quadrado ::::::::::::::::: 562
Captulo 19- 
  Propriedades dos 
  quadrilteros 
  notveis :::::::::::::::: 573
Paralelogramos ::::::::::: 573 
Propriedades dos ngulos e 
  lados ::::::::::::::::::: 573 
<p>
Propriedades das 
  diagonais ::::::::::::::: 574
Propriedades 
  recprocas :::::::::::::: 576 
Lados opostos paralelos e 
  congruentes ::::::::::::: 576 
Retngulos ::::::::::::::: 582 
Diagonais congruentes :::: 583 
Losangos ::::::::::::::::: 586 
Diagonais 
  perpendiculares ::::::::: 587  
Quadrados :::::::::::::::: 590 
Trapzio issceles ::::::: 595
ngulos das bases 
  congruentes ::::::::::::: 595
Diagonais congruentes :::: 597
Base mdia nos 
  tringulos :::::::::::::: 601
Base mdia nos
  trapzios ::::::::::::::: 608

Sexta Parte

Unidade 8 -- Equaes 
  e sistemas 
Captulo 20- 
  Equaes ::::::::::::::: 631
Produto igual a zero ::::: 632
<p>
                           XXVII
Fatorao e resoluo de 
  equaes :::::::::::::::: 632
Aplicando fatorao :::::: 635
Resolvendo problemas ::::: 641
Equaes impossveis e 
  equaes 
  indeterminadas :::::::::: 653
Equao do 1 grau :::::: 657
Equao literal :::::::::: 659
Equao fracionria :::::: 665
Captulo 21- Sistemas de 
  equaes :::::::::::::::: 672
Problemas com duas 
  incgnitas :::::::::::::: 672
Mtodo da adio ::::::::: 675 
Preparando um sistema para 
  resolv-lo pelo mtodo 
  da adio ::::::::::::::: 677
Preparando coeficientes 
  nas duas equaes ::::::: 681
Mtodo da substituio ::: 685
Mtodo da comparao ::::: 687
Interpretao 
  geomtrica :::::::::::::: 692
Equao linear a duas 
  incgnitas :::::::::::::: 693
<p>
Representao geomtrica 
  de pares ordenados :::::: 699
Grfico da equao 
  ax+by=c ::::::::::::::::: 709
Sistema de duas equaes 
  lineares a duas 
  incgnitas :::::::::::::: 712
Sistemas impossveis e 
  sistemas 
  indeterminados :::::::::: 718
Matemtica no tempo -- 
  Coordenadas 
  cartesianas ::::::::::::: 736

Stima Parte

Unidade 9 -- Inequaes
Captulo 22- Inequaes 
  do 1 grau ::::::::::::: 746
Inequaes ::::::::::::::: 747
Representao na reta :::: 757
Inequao do 1 grau :::: 757 
Representao geomtrica 
  das solues :::::::::::: 758
Sistemas de inequaes ::: 767
Resoluo do sistema de 
  inequaes :::::::::::::: 767
<p>
                           XXIX
Unidade 10 -- 
  Circunferncia, arcos 
  e ngulos
Captulo 23- 
  Circunferncia e 
  crculo ::::::::::::::::: 784 
Distncia entre dois 
  pontos :::::::::::::::::: 784
Circunferncia ::::::::::: 786
Corda :::::::::::::::::::: 788
Dimetro ::::::::::::::::: 788
Posio de ponto e 
  circunferncia :::::::::: 788
Crculo :::::::::::::::::: 790
Partes do crculo :::::::: 791
Setor circular ::::::::::: 791
Segmento circular :::::::: 792
Semicrculo :::::::::::::: 792
Captulo 24- Posies 
  relativas de reta e 
  circunferncia :::::::::: 797
Distncia de ponto a 
  reta :::::::::::::::::::: 797
Posies de reta e 
  circunferncia :::::::::: 802
Reta e circunferncia 
  secantes :::::::::::::::: 802
<p>
Reta e circunferncia 
  tangentes ::::::::::::::: 804
Reta e circunferncia 
  externas :::::::::::::::: 806
Captulo 25- Posies 
  relativas de duas 
  circunferncias ::::::::: 812
Circunferncias 
  tangentes ::::::::::::::: 812
Circunferncias 
  externas :::::::::::::::: 815
Circunferncia interna a 
  outra circunferncia :::: 815
Caso particular: 
  circunferncias 
  concntricas :::::::::::: 816
Circunferncias 
  secantes :::::::::::::::: 817
Captulo 26- Segmentos 
  tangentes ::::::::::::::: 823
Propriedades ::::::::::::: 824
Circunferncia inscrita em 
  tringulo ::::::::::::::: 825
Quadrilteros 
  circunscritveis :::::::: 830
Propriedade :::::::::::::: 831
<p>
                            XXXI
Captulo 27- Arcos de 
  circunferncia :::::::::: 837
Semicircunferncia ::::::: 838
ngulo central ::::::::::: 839
Arcos congruentes :::::::: 839
Medida de um arco :::::::: 840
Medida do arco maior ::::: 842
Captulo 28- ngulos 
  inscritos em 
  circunferncias ::::::::: 845
Medida do ngulo 
  inscrito :::::::::::::::: 846
ngulo inscrito numa 
  semicircunferncia :::::: 853
Propriedade :::::::::::::: 853
ngulos excntricos :::::: 856
ngulo excntrico 
  interior :::::::::::::::: 856  
ngulo excntrico 
  exterior :::::::::::::::: 857
Captulo 29- 
  Quadrilteros  
  inscritveis :::::::::::: 864
Quadriltero inscrito em 
  circunferncia :::::::::: 864
Propriedade :::::::::::::: 865
<p>
Captulo 30- Arco 
  capaz ::::::::::::::::::: 869
O que  arco capaz? :::::: 869

Oitava Parte

Respostas dos exerccios 

Unidade 1 -- Nmeros 
  reais 
Captulo 1- Revendo
  nmeros ::::::::::::::::: 885  
Captulo 2- Os nmeros 
  reais e a reta :::::::::: 891

Unidade 2 -- Potenciao 
  e radiciao
Captulo 3- Potncia de 
  base real e expoente 
  inteiro ::::::::::::::::: 898
Captulo 4- Raiz 
  quadrada :::::::::::::::: 907

Unidade 3 -- Segmentos, 
  ngulos e tringulos
Captulo 5- 
  Segmentos :::::::::::::: 913
Captulo 6- ngulos :::: 915
<p>
                          XXXIII
Captulo 7- Retas 
  coplanares :::::::::::::: 917
Captulo 8- 
  Tringulos ::::::::::::: 920
Captulo 9- Soma dos 
  ngulos de um 
  tringulo ::::::::::::::: 923
Captulo 10- Congruncia 
  de tringulos ::::::::::: 927 
Captulo 11- Pontos 
  notveis do tringulo ::: 930
Captulo 12- Tringulos 
  issceles/Tringulos
  equilteros ::::::::::::: 933
              
Unidade 4 -- Estatstica
Captulo 13- Mdias :::: 936

Unidade 5 -- Clculo 
  algbrico
Captulo 14- Expresses 
  algbricas :::::::::::::: 940 

Captulo 15- Operaes 
  com polinmios :::::::::: 948
<p>
Unidade 6 -- Produtos 
  notveis e fatorao
Captulo 16- Produtos 
  notveis :::::::::::::::: 956
Captulo 17- Fatorao 
  de polinmios ::::::::::: 963 

Unidade 7 -- 
  Quadrilteros
Captulo 18- 
  Quadrilteros: noes 
  gerais :::::::::::::::::: 975
Captulo 19- 
  Propriedades dos
  quadrilteros 
  notveis :::::::::::::::: 979

Unidade 8 -- Equaes 
  e sistemas 
Captulo 20- 
  Equaes ::::::::::::::: 986
Captulo 21- Sistemas de 
  equaes :::::::::::::::: 994

Unidade 9 -- Inequaes
Captulo 22- Inequaes  
  do 1 grau ::::::::::::: 1.002
<p>
                           XXXV
Unidade 10 -- 
  Circunferncia, arcos 
  e ngulos
Captulo 23- 
  Circunferncia e 
  crculo ::::::::::::::::: 1.009 
Captulo 24- Posies 
  relativas de reta e 
  circunferncia :::::::::: 1.011
Captulo 25- Posies 
  relativas de duas 
  circunferncias ::::::::: 1.013
Captulo 26- Segmentos 
  tangentes ::::::::::::::: 1.016
Captulo 27- Arcos de 
  circunferncia :::::::::: 1.020
Captulo 28- ngulos 
  inscritos em 
  circunferncias ::::::::: 1.021
Captulo 29- 
  Quadrilteros 
  inscritveis :::::::::::: 1.025
Captulo 30- Arco 
  capaz ::::::::::::::::::: 1.027
<F->
<p>
<p>
                         XXXVII
Nota de Transcrio

  Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, as fraes podem ser escritas, em braille, das seguintes maneiras:
<R+>
<F->
A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este ltimo sem sinal de nmero."
Exemplo: #:d (trs quartos).
B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256) 
Exemplo: #c#d (trs quartos).
C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos 5#bef ~
Exemplo: #:d~5 (trs quartos sobre cinco).
<F+>
<R->
<p>
  Neste livro em braille, estas formas de representao sero aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.
<R+>
<F->
D) Todas as figuras representadas neste exemplar em braille possuem medidas aproximadas, comparadas s do original, elaboradas no sistema comum de escrita.
E) Nas figuras utilizadas para representao de fraes e, tambm, em outras situaes, as partes coloridas foram destacadas, nesta edio em braille pelo smbolo .
<R->
<F+>
<11>
<T mat. realidade 8>
<t+1> 
Unidade 1 -- Nmeros reais

Captulos:
 1- Revendo nmeros 
 2- Os nmeros reais e a reta 

Unidade 2 -- Potenciao 
  e radiciao 

<R+>
Captulo: 
 3- Potncia de base real e expoente inteiro 
<R->
<42>
<12>

Captulo 1- Revendo nmeros 

O lado desconhecido 

  Vamos recordar como se calcula a rea do quadrado: 
<p>
<F->
rea = lado  lado = (lado)2

          lado
     pcccccccccccc   
     l            _   
     l            _   
lado l            _ lado
     l            _   
     l            _   
     v------------#   
          lado
<F+>

  Observe a figura a seguir: um quadrado cujos lados medem 1 cm. 

<F-> 
       1 cm
       ------------
       l        *a_
1 cm  l      *a  _ 1 cm
       l    *a    _
       l  *a      _ 
       l*a        _
       cccccccccccc
       1 cm
<F+>

  Traamos uma diagonal, dividindo o quadrado em duas partes. 
<p>
  Responda: 
<R+>
 Qual  a rea do quadrado? 
 Qual  a rea de cada parte? 
<R->
  Agora, juntamos quatro quadradinhos de 1 cm de lado, formando um quadrado maior com 2 cm de lado. Traamos uma diagonal em cada um dos quadradinhos, formando um novo quadrado, que voc v pintado em azul na figura _`[no representada_`].
  Em relao ao quadrado azul, responda: 
<R+>
 Qual  a sua rea? 
 Quanto medem os seus lados? 
 A medida dos lados  um nmero inteiro? 
  um nmero racional (fracionrio)? 
<R->
<13> 
  Por enquanto, voc tem condio de responder somente  primeira pergunta. As outras ns responderemos no decorrer desta unidade, dedicada a revisar e ampliar o campo numrico que conhecemos at agora. 
<p>
  Antes vamos rever alguns nmeros. 

Nmeros naturais 

  Os nmeros naturais surgiram da necessidade de fazer contagens. So os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
 11, ... 

Exerccios

<R+>
<F->
1. Responda s perguntas. 
a) 15 e XV so nmeros diferentes?
b) 15 e XV so numerais diferentes? 

2. Responda: 
a) Quais so e como so chamados os nmeros naturais mltiplos de 2?  
b) Quais so os dez primeiros naturais mpares? 
<p>
3. Responda: 
a) O que  um nmero natural primo? 
b) Quais so os dez primeiros naturais primos? 

4. Decomponha em fatores primos: 
a) 150 
b) 1502 
c) 500 
d) 5002 

5. Responda se  verdadeiro ou falso: Sendo *p* um nmero natural maior que 1, na decomposio de p2 os expoentes de todos os fatores primos so nmeros pares.  
<F+>
<R->

Nmeros inteiros 

  Da subtrao de dois nmeros naturais pode resultar um nmero positivo, zero ou um nmero negativo. Por exemplo: 
<F->
5-1=4 
5-2=3 
5-3=2 
5-4=1 
5-5=0 
5-6=-1 
5-7=-2 
5-8=-3 
5-9=-4 
5-10=-5 
<F+>
<14> 
  Os nmeros resultantes da subtrao de dois nmeros naturais so os nmeros inteiros. Os inteiros so: 
<R+>
 ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
  7, ... 
<R->

Exerccios

<R+>
<F->
6. Responda: 
a) Quanto  a soma de dois nmeros opostos?  
b) Qual  o oposto de +3? 
c) Qual  o oposto de -4? 
d) Qual  o oposto de 0? 
<p>
  Indica-se o valor absoluto de *n* por _ n_ (l-se: "mdulo de *n* ou valor absoluto de *n*"). 

7. D o valor de: 
a) _ +8_ 
b) _ -8_ 
c) _ -5_ 
d) _ 5_ 
e) _ 0_ 
f) _ -`(-1)_ 

8. Calcule: 
2._ -5_ -_ +3_
_ -6_ +_ 2-`(9-3)+1_ 
<F+>
<R->

Nmeros racionais 

  Os nmeros racionais so os que resultam da diviso de dois nmeros inteiros. 
  Um nmero racional pode ser representado por meio de uma frao, ou seja, pode ser escrito na forma pq, em que *p* e *q* so nmeros inteiros e *q* no  zero. 
<p>
  Observe os exemplos: 
<R+>
<F->
#:aj, #e, #,:be 
0 ( o mesmo que #}a), 
  1 ( o mesmo que #,a),
  -#=,ajj ( o mesmo que -#=,ajj) 
-3 ( o mesmo que -#:a), 
  -5 ( o mesmo que -#?a), 
  -#"e ( o mesmo que -#"e) 
<F+>
<R->
<15>
  Um nmero racional tambm pode ser representado na forma decimal. Veja estes exemplos: 
<F->
<R+>
#:aj=0,3, #e=0,8, #,:be=0,52                                 
#=c=2,333..., 
  #?!aa=5,090.909..., 
  -#=,ajj=-0,71 
-#,?h=-1,875, -#,,i=-1,222..., 
  -#;?f=-4,1.666...
<R->
<F+>

Transformando frao em decimal 

  Para passar um nmero racional da forma fracionria para a forma decimal, basta dividir o numerador pelo denominador. 
<P>
  Exemplos: 
 #,:be=1325=0,52
 #?!aa=5611=5,090.909...
  Quando transformamos frao em numeral decimal podemos obter: 
<R+>
 um decimal exato -- numeral que tem nmero finito de algarismos (diferentes de zero). 
<R->
 #:aj=0,3, #e=0,8, 
  -#=,ajj=-0,71, -#,?h=-1,875
<R+>
 uma dzima peridica -- numeral formado por infinitos algarismos que se repetem periodicamente. 
<R->
 #=c=2,333...=2,?c* 
  (perodo 3) 
 #?!aa=5,090.909...=5,?ji* 
  (perodo 09) 
 -#,,i=-1,222...=-1,?b* 
  (perodo 2) 
 -#;?f=-4,1.666...=-4,1?f* 
  (perodo 6) 
  Quando uma frao  equivalente a uma dzima peridica, dizemos 
<p>
que a frao  a geratriz da dzima. Por exemplo: 
 #=c=2,333...
<R+>
A frao #=c  a geratriz da dzima 2,333... 
<R->
 -#,,i=-1,?b*
<R+>
A frao -#,,i  a geratriz da dzima -1,?b*.
<R->
<16>

Exerccio

<F->
9. Coloque na forma decimal: 
a) 710
b) 2910
c) 31100
d) 2.874100
e) 371.000
f) 85
g) 172
h) -4125
i) 53
j) -76
k) 38
l) 83
m) -920
n) -209
<F+>
<p> 
Decimal exato ou dzima?

<R+>
_`[{enquanto um professor pergunta: " possvel saber se a frao equivale a um decimal exato ou a uma dzima peridica antes de dividir o numerador pelo denominador?". Os alunos observam 
  o que est na lousa: "0,94.444...; 3.1251.000; 710=0,7; 52100=0,52"_`]
<R->

  Fraes de denominador 10, 100, 1.000, etc. equivalem a decimais exatos. Por exemplo: 
<F->
310=0,3
22100=0,22
351.000=0,035
<F+>
  Todo decimal exato equivale a uma frao em que o numerador  o numeral decimal sem vrgula e o denominador  o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas 
<p>
forem as casas decimais do numeral dado. Por exemplo: 
 0,21=21100
  0,21 (2 casas decimais)
  21100 (2 zeros)
1,729=1.7291.000
  1,729 (3 casas decimais)
  1.7291.000 (3 zeros)
-6,045=-6,0451.000
  -6,045 (3 casas decimais)
  -6.0451.000 (3 zeros)

  Os denominadores 10, 100, 1.000 apresentam como fatores primos apenas 2 e 5: 
<F->
10=2.5
100=22.52
1.000=23.53
<F+>
  Com isso, podemos saber se uma frao equivale a um decimal exato ou se gera dzima peridica, antes de efetuar a diviso do numerador pelo denominador. 
<17>
  No caso de frao irredutvel (numerador e denominador primos entre si) com denominador maior que 1, decompomos o denominador 
<p>
em fatores primos. Acompanhe os dois casos: 
 1 caso 
  Se o denominador contiver apenas os fatores 2 ou 5, a frao 
equivale a outra com denominador 10, 100, 1.000, etc. e, portanto, equivale a um decimal exato. 
  Observe, nos exemplos a seguir, que transformamos o denominador em uma potncia de 10. 
<R+>
-- A frao 1325 tem denominador 25, e 25=52; s tem o fator primo 5. Ento, 1325 equivale a um decimal exato. 
<R->
  Temos: 
 1325=?13.4*?25.4*=
  =52100=0,52
<R+>
-- A frao 617500 tem denominador 500, e 500=22.53; s tem os fatores primos 2 e 5. Ento, 617500 equivale a um decimal exato.
<R->
  Temos: 
617500=?617.#b*?500.#b*=
  =1.2341.000=1,234
<p>
 2 caso 
  Se o denominador contiver fatores primos diferentes de 2 e de 
5, a frao equivale a uma dzima peridica. 
  Veja o exemplo a seguir. 
  A frao 17180 tem denominador 180, e 180=22.32.5; tem o fator primo 3, diferente de 2 e de 5. Ento, 17180 equivale a uma dzima peridica. 
  Temos: 
 17180=0,094.444... 

Exerccios

<R+>
<F->
10. Passe para a forma de frao: 
a) 0,57 
b) 1,28
c) 3,125
d) -31,25
e) 0,7
f) 0,718
g) 1,3.147
h) 4,718.365
<p>
11. Sem efetuar a diviso, responda: Quais das seguintes fra-
  es equivalem a um numeral decimal exato? 
a) #=bj
b) #,=ae
c) -#:=ajj
d) -#,};e
<18>

12. Com as fraes a seguir faa no seu caderno uma tabela de duas colunas DE e DP. Na coluna DE, escreva as fraes que podem ser convertidas em decimais exatos; na coluna DP, escreva as fraes que equivalem a uma dzima peridica. 
#,,aj; -#:=ge; -#,,bj; #;}=ajj; #;ad; #,:c; #,?g; #;,f; #:;bg; -#,?c

13. Responda: 
a) Qual  a decomposio de 320 em fatores primos? 
b) A frao #:;,cbj equivale a um decimal exato ou a uma dzima peridica? Por qu? 
<P>
14. A seguir h 12 nmeros. 
0,5; -111; 3,6; 58; -4; #?c; -1,33; 0; 0,001; -#,i; 
  -17; 1 
a) Quantos deles so nmeros naturais? Quais? 
b) Quantos deles so nmeros inteiros? Quais? 
c) Quantos deles so nmeros racionais? Quais? 
d) Qual deles tem o maior valor absoluto?
<F+>

Calculando a geratriz 

_`[{numa sala de aula, um menino fala para o outro: "Eu sei que 0,4=410; 0,44=44100; 0,444=4441.000; etc. Mas como transformar 0,444... em frao?". O outro fica pensativo_`] 
<R->

  0,444...  uma dzima peridica de perodo 4. Para encontrar a 
<p>
sua frao geratriz, primeiro chamamos a dzima peridica de *x*: 
 x=0,444... (1) 
  Multiplicamos ambos os membros da equao (1) por 10, de modo que a vrgula se desloque uma casa decimal para a direita e 4 fique  esquerda: 
 10x=4,444... (2) 
  Subtramos, membro a membro, a equao (1) da equao (2): 

<F->
10x=4,444... (2)
  -x=0,444... (1)
--------------------
 9x=4        (3) 
<19>

  Resolvendo a equao (3), obtemos *x*:
x=#i
  Conclumos que 0,444...=#i. Ou, #i  a frao geratriz de 0,444... 
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
15. Escreva o perodo dos decimais peridicos: 
0,342.342.342...; 27,577.777...; 1.036,898.989... 

16. Ache a frao geratriz da dzima 0,6.666... 
17. Escreva 3,222... na forma de frao. 
<F+>

Dzima com perodo de duas casas ou mais 
<R->

  Vamos obter a frao geratriz da dzima 5,121.212... 
  Primeiro chamamos a dzima peridica de *x*: 
 x=5,121.212... (1) 
  O perodo  12. 
  Multiplicamos, ento, ambos os membros de (1) por 100, de modo que a vrgula se desloque duas casas decimais para a direita e 12 fique  esquerda da vrgula: 
 100x=512,1.212... (2) 
<p>
  Subtramos, membro a membro, a equao (1) da equao (2): 

<F->
100x=512,1.212... (2) 
   -x=5,1.212...   (1)
----------------------- 
 99x=507 
<F+>

x=#?}=ii=#,!*cc

  Conclumos que 5,1.212...=
 =#,!*cc.

Exerccios

<R+>
<F->
18. Determine a geratriz de 5,474.747...  
19. Calcule a geratriz de 0,312.312.312...  
<F+>
<R->
<20>

Separando a parte no peridica 

  Vamos escrever 1,27.888.888... na forma fracionria. 
  Fazemos x=1,27.888.888... (1) 
<p>
  Nesse caso, o decimal apresenta uma parte no peridica: 
 1,27.888.888...
 27 -- parte no peridica
 888.888... -- parte peridica
  O primeiro passo  transformar a parte no peridica em parte inteira, ou seja, devemos deslocar a vrgula duas casas para a direita. 
  Vamos, ento, multiplicar ambos os membros de (1) por 100: 
 100x=127,88.888... (2) 
  Agora  direita da vrgula existem apenas os perodos. Procedemos, ento, como nos exemplos anteriores. 
  Multiplicamos (2), membro a membro, por 10: 
<F->
1.000x=1.278,88.888... (3) 
  Da, calculamos (3)-(2): 

1.000x=1.278,88.888... (3) 
 -100x=127,88.888...   (2)
----------------------------
  900x=1.151 
<F+>

x=1.151900
<p>
  Assim, conclumos que 1,2.788.888...=1.151900. 

<R+>
_`[{numa sala de aula, um menino pergunta para o outro: "E se a dzima for negativa?". O outro fica pensativo_`]
<R->

  Para escrever, por exemplo, -1,2.788.888... em forma fracionria, comeamos achando a geratriz de 1,2.788.888..., que  1.151900. 
  Temos, ento: -1,2.788.888...=
 =-1.151900.

Exerccios

<R+>
<F->
20. Obtenha as geratrizes das seguintes dzimas peridicas: 
a) 0,777... 
b) 3,888... 
c) 9,151.515... 
d) 6,1.777... 
e) 5,83.333... 
f) -12,3.454.545...
<21>
<p>
21. Escreva uma frao equivalente a cada um dos seguintes numerais: 
a) 0,7 
b) 0,33 
c) 1,333 
d) 5,21
e) 2,333...  
f) 3,4 
g) 4,7.222... 
h) 3,121.212... 
i) 0,5.272.727... 
j) 1,8.999... 

22. Dado o nmero p=160, quantas vezes aparece o fator primo 2 na decomposio em fatores primos: 
a) de p? 
b) de p2? 
c) de 2.p2? 

23. Sendo *p* um inteiro maior que 1, na decomposio em fatores primos do nmero p2 o 
<p>
  expoente do fator primo 2  par ou mpar? E na decomposio do nmero 2p2? 
<F+>
<R->

Desafios 

Palndromos 

  Chamam-se palndromos os nmeros inteiros que no se alteram quando  invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo, 383, 4.224, 74.847). Qual  o nmero total de palndromos de cinco algarismos? E de seis algarismos? 

<R+>
_`[{numa sorveteria, duas meninas conversam. Uma menina diz: "Fala $"subi no nibus$" ao contrrio". A outra menina: "Subi no nibus. Agora fala: $"Roma  amor$" ao contrrio"_`]
<R->
<p>
Perodos 

  Um decimal exato pode ser considerado peridico, com perodo formado por 0 (por exemplo: 1,5=1,50.000...=1,5?j*). 
  Decimais exatos e dzimas peridicas surgem da diviso de dois inteiros quando queremos transformar uma frao em numeral decimal. Por que existe periodicidade nessa diviso? 

               ::::::::::::::::::::::::
<22>
<p>
Captulo 2- Os nmeros 
  reais e a reta

  J vimos como representar alguns nmeros na reta. Vamos recordar. 

Nmeros inteiros 

  Os nmeros inteiros podem ser representados por pontos de uma reta. 
  Na figura esto representados os nmeros inteiros de -3 a +3. 

<F->
 <:w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:>
  -3 -2 -1  0  1  2  3
<F+>

Nmeros racionais no inteiros 

  Os nmeros racionais no inteiros tambm podem ser representados por pontos dessa reta. 
  Por exemplo, para representar o nmero #,b, tomamos o ponto da reta situado a meia unidade de 
<p>
distncia do ponto 0 e  sua direita: 

<F->
 <::::::w:::::w:::w:::w::::::>
       -1    0  #,b 1      
<F+>

  E para representar o nmero -#,b, tomamos o ponto situado  esquerda de 0, a meia unidade de distncia: 

<F->
 <::::::w:::w:::w:::w:::w::::::>
       -1 -#,b 0  #,b 1      
<F+>
<23>

  Veja a seguir a representao de outros nmeros racionais no inteiros por pontos da reta: 

<R+>
_`[{reta numerada compreendida entre -5 e 5, representando os seguintes nmeros racionais:
<F->
entre -4 e -3 a frao -#=b
entre -3 e -2 a frao -#*d
entre -2 e -1 a frao -#:b
entre -1 e 0 as fraes -#,b e 
  -#,c
entre 0 e 1 as fraes #,c e #,b
entre 1 e 2 a frao #:b
entre 2 e 3 a frao #*d
entre 3 e 4 a frao #=b_`]

<F+>
<R->
   importante observar que: 
<R+>
 Entre dois nmeros inteiros e consecutivos no existe nenhum nmero inteiro. Isso significa que os pontos da reta situados entre a marca 0 e a marca 1, por exemplo, no representam nmeros inteiros: 
<R->

<F->
 <::::::::::w:::w::::::::::>
            0  1      
<F+>

<R+>
 Entre dois nmeros racionais  possvel encontrar muitos nmeros racionais. Por exemplo, entre 0 e 1  possvel encontrar o nmero #,b:
<R->

<F->
 <::::::::::w:::w:::w::::::::::>
            0  #,b 1      
<F+>

  Entre os nmeros racionais 0 e #,b  possvel encontrar muitos 
<p>
outros racionais. Por exemplo, o nmero #,d:

<F->
 <::::::::w:::w:::w::::w::::::::>
          0  #,d #,b  1      
<F+>

  E entre os nmeros racionais 0 e #,d  possvel encontrar outros nmeros racionais. Por exemplo, o nmero #,h:

<F->
 <:::::w:::w:::w:::w::::w:::::>
       0  #,h #,d #,b  1      
<F+>

  Entre dois nmeros racionais *a* e *b*, com a=b, sempre  possvel encontrar outros nmeros racionais distintos de *a* e *b* como, por exemplo, a+b2. 

Nmeros irracionais 

  Cada nmero racional  representado por um ponto da reta. No entanto, mesmo que fosse possvel marcar na reta cada um dos pontos que representam nmeros racionais, ainda assim no marcaramos todos os pontos da reta. Existem pontos na reta que no correspondem a nmeros racionais. Para dar um exemplo, vamos usar o mesmo quadrado do incio do captulo 1. Lembre que os lados do quadrado rosa medem 2 cm e que a rea do quadrado azul mede 2 cm2, mas no conhecemos quanto medem seus lados. 

<R+>
_`[{figura de um quadrado (rosa) medindo 2 cm em cada lado. No seu interior, h um quadrado (azul) desenhado em diagonal, medindo *x* em cada lado_`]
<R->
<24>

  Com o auxlio de um compasso, transportamos a medida *x* do lado do quadrado azul para a reta numerada, marcando o ponto P. 
  O ponto P deve corresponder ao nmero *x*. Note que *x*  um nmero compreendido entre 1 e 2. J vimos que a rea do quadrado azul  2 cm2; logo, x2=2. 
<p>
  Esse nmero *x* no pode ser um racional pq porque, substituindo *p* e *q* por inteiros e calculando a expresso `(pq`)2, no h possibilidade de encontrar resultado 2. 
  Assim, no ponto P no est representado um nmero racional. O nmero a representado  um exemplo de nmero irracional (ou seja, no racional). Para formar uma ideia de valor de *x*, observe: 
<F->
`(1,4)2=1,4.1,4=1,96 (menor 
  que 2)
`(1,5)2=2,25 (maior que 2) 
  Logo, *x* fica entre 1,4 e 
1,5.
`(1,41)2=1,9.881 (menor que 
  2)
`(1,42)2=2,0.164 (maior que 
  2) 
  Logo, *x* fica entre 1,41 e 
1,42. 
`(1,414)2=1,999.396 (menor que 
  2) 
<p>
`(1,415)2=2,002.225 (maior que 
  2)
  Logo, *x* fica entre 1,414 e 
1,415. 
<F+>
  Assim, um valor aproximado para *x* com uma casa decimal  1,4, com duas casas  1,41 e com trs casas  1,414. O nmero *x* no pode ser representado por um decimal exato (porque seno seria racional) nem por dzima peridica (porque toda dzima tem uma frao geratriz, sendo portanto nmero racional). Assim, a representao decimal do nmero *x*  infinita e no peridica. Indicamos: 
 x=1,414... 
  (Adiante veremos que *x*  a raiz quadrada de 2, ou seja, x=2. Recorrendo a uma calculadora, obtemos, com 8 casas, x=1,41.421.356...). 
  Podemos ento dizer que: 

  Nmero irracional  todo nmero representado em pontos da reta que no correspondem a nmeros racionais. A representao decimal de um nmero irracional  infinita e no peridica. 

  Veja outros exemplos de nmeros irracionais e sua localizao aproximada na reta: 
 a=0,1.001.000.100.001... 
 b=1,1.112.131.415... 
 c=-1,23.456.789.101.112... 
 d=3,30.300.300.030.000... 

<F->
   c       a    b          d
 <:_:w::::w_:::w_:::w::::w:_::w:>
    -1   0   1   2   3   4
<F+>

<25>
Nmeros reais 

  Todos os nmeros representados na reta so denominados nmeros reais. A cada ponto da reta corresponde um nmero real, e a todo nmero real corresponde um ponto da reta. Dessa forma, so nmeros 
<p>
reais todos os nmeros racionais e todos os nmeros irracionais. Resumindo: 

  Nmero real  todo nmero racional ou irracional. 

Exerccios

<R+>
<F->
24. No seu caderno, desenhe uma reta e marque sobre ela um segmento de medida 10 cm. Chame as extremidades desse segmento de 0 e 1 e localize nele, aproximadamente, os pontos que representam: 
a) os nmeros racionais: 
0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 
b) os nmeros racionais: 
0,333.333...; 0,37.373.737... 
c) o nmero irracional:
0,35.335.333.533.335... 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<p>
<R+>
<F->
25. Quais dos seguintes decimais representam nmeros racionais?  
a) 5,9
b) -31,72 
c) 6,383.838... 
d) -0,777... 

26. Quantos nmeros so irracionais? Quais so eles? 
2,72.272.227...; 4; 5,125; 3,414.141...; 0,4.567.891.011...; 0,815.815.815...; -17,3; -1,8.888...; -7,02.468.101.214...

27. Escreva a representao decimal de um nmero irracional compreendido entre 5 e 6 e de outro compreendido entre 3,1 e 3,2. 
<F+>

Representao dos conjuntos 
  numricos 
<R->

  Os nmeros podem ser organizados em conjuntos. 
<P>
  H uma simbologia convencionada para representar os principais 
conjuntos formados pelos nmeros que estudamos at agora. Vejamos: 
 Conjunto dos nmeros naturais 
   representado por _n. Ento: 
<R+>
 _n=`{0, 1, 2, 3, 4, 5, 
  6, ...`} 
<R->
<26>
 Conjunto dos nmeros inteiros 
   representado por _z. Ento: 
<R+>
 _z=`{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...`} 
<R->
 Conjunto dos nmeros racionais  
   representado por _q. Ento: 
<R+>
 _q=`{x,x=pq, sendo *p* e *q* inteiros, q=0`} 
<R->

O sinal , significa "tal que".

  A letra _q  a inicial da palavra quociente -- todo racional  o quociente da diviso de dois inteiros. 
<p>
 Conjunto dos nmeros reais 
   representado por _r. Ento: 
<R+>
 _r=`{x,x  racional ou irracional`} 
<R->
  Todo nmero natural  nmero inteiro. Mas h nmeros inteiros que no so naturais, como, por exemplo, -1, -2, -3. 
  Todo nmero inteiro  nmero racional. Mas h nmeros racionais que no so inteiros, como #,b, #=c, -#:aj, por exemplo. 
  Todo nmero racional  nmero real. Mas h nmeros reais que no so racionais -- so os irracionais. 
  Num diagrama _`[adaptado_`], podemos representar os conjuntos numricos, respeitando as observaes anteriores, do seguinte modo: 
<p>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::
l !:::::::::::::::::::::::     _
l l !::::::::::::::      _     _
l l l !::::       _      _     _
l l l l _n _   _z  _ _q   _ _r  _
l l l h::::j       _      _     _
l l h::::::::::::::j      _     _
l h:::::::::::::::::::::::j     _
h:::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<27>

Exerccios

<R+>
<F->
28. Copie no seu caderno e complete y assinalando a que conjunto (ou conjuntos: _n, _z, _q, _r) pertence cada nmero dado: 
10 y
-10 y
#,aj y
0,10.101.010... y
0,101.001.000... y
1,33 y
-1,3.333... y
-1,343.343.334... y
133 y
-133 y
<R+>
<p>
29. D trs exemplos de: 
a) nmeros naturais; 
b) nmeros inteiros no naturais; 
c) nmeros racionais no inteiros; 
d) nmeros reais no racionais. 
<F+>
<R->

Valor absoluto 

  Quando representamos os nmeros reais #?b e -#?b, por exemplo, por pontos, obtemos dois pontos -- um  direita e outro  esquerda de 0 (zero) -- situados  mesma distncia de 0: 

<R+>
_`[{a reta ser representada na posio vertical e o ponto  direita est abaixo do zero; o ponto  esquerda est acima do zero_`]
<R->

<p>
<F->
 -3  l
      l
 -#?b o::
      l   _
 -2  r   _
      l   _: 2,5 unidades
 -1  l   _
      l   _
  0  r:::w
      l   _
  1  r   _
      l   _: 2,5 unidades 
  2  r   _
      l   _
  #?b o::j
      l
  3  l
<F+>

  Dizemos que -#?b e #?b so nmeros que tm o mesmo valor absoluto (ou mdulo), que  #?b. Indicamos: 
 _ -#?b_ =_ #?b_ =#?b
<p>
  Se *a*  um nmero real positivo, ento _ a_ =a e _ -a_ =a. 
  Se a=0, ento _a_=_0_=0. 

  Veja outros exemplos: 
 _ 2_ =2 
 _ -3_ =3
 _ #,,c_ =#,,c
 _ -0,123.456..._ =0,123.456...
<28>

<R+>
Os paulistas no campeonato 
  brasileiro 
<R->

  O campeonato brasileiro de futebol de 2005 foi realizado com 22 equipes, das quais 6 eram paulistas. Ao trmino da temporada, caram quatro equipes para a segunda diviso e subiram outras duas, ficando o campeonato de 2006 com 20 equipes, entre elas 6 paulistas. A partir da, o campeonato sempre foi disputado por 20 equipes. Em 2007 e 2008 havia apenas 4 paulistas no campeonato. 
<p>
<R+>
Equipes integrantes do campeonato brasileiro de 2008

<F->
_`[{imagens no adaptadas dos escudos dos seguintes times brasileiros_`]
Legenda: Atltico -- MG; Atltico -- PR; Botafogo -- RJ; Grmio -- RS; Vitria -- BA; Coritiba -- PR; Cruzeiro -- MG; Figueirense -- SC; Flamengo -- RJ; Fluminense -- RJ; Sport -- PE; Gois -- GO; 
  Internacional -- RS; 
  Portuguesa -- SP; Palmeiras -- SP; Nutico -- PE; 
  Ipatinga -- MG; Santos -- SP; So Paulo -- SP; 
  Vasco -- RJ. 
<F+>
<R->

  De 2005 a 2008, em que ano a participao dos paulistas foi maior? 
  Para resolver essa questo, precisamos comparar as fraes #!bb, #!bj e #bj.
<29>
<p>
Comparao de nmeros reais 

  Comparar dois nmeros reais *a* e *b* significa estabelecer qual das afirmaes a seguir  verdadeira: 
 a<b ou a=b ou a>b 
  Acompanhe os exemplos a seguir. 

Em forma de frao 

<R+>
_`[{apresentando as fraes #?d e #=c escritas na lousa, uma menina fala para os colegas da turma: "Vamos comparar #?d e #=c"_`]
<R->

  Nesse caso, os dois nmeros reais so representados por fraes. Vamos reduzir as fraes a um mesmo denominador positivo e comparar os numeradores entre si. 
 #?d=#,?ab e #=c=#;"ab
  Como 15<28, ento #?d<#=c. 
  Veja outros exemplos: 
<R+>
 -#,,c<-#,!e, pois -#,,c=-#??ae, 
  -#,!e=-#"ae e -55<-48.
<p>
 #:?hi>#:?ia, pois os numeradores so iguais e 89<91. 
<R->

Na forma decimal 

<R+>
_`[{apontando para os decimais 1,21 e 3,007 escritos na lousa, uma menina fala: "Vamos comparar 1,21 e 3,007"_`]
<R->

  Nesse caso, comparamos as partes inteiras. O maior nmero  o que tem a parte inteira maior. 
 1,21<3,007, pois 1<3. 
  Observe outros exemplos: 
 7,3>4,99.987, pois 7>4 
 -1,7>-3,584, pois -1>-3 
<30>

Com partes inteiras iguais 

<R+>
_`[{apontando para os decimais 1,13 e 1,37 escritos na lousa, uma menina fala: "E agora vamos comparar 1,13 e 1,37"_`]
<R->

  Nesse caso, tomamos igual nmero de casas decimais nos dois nmeros at que surja uma casa com 
algarismos distintos. Em seguida, comparamos os nmeros resultantes. 
 1,13<1,37, pois 1,1<1,3 

  Esse mtodo  como colocar palavras em ordem alfabtica.
  Que palavra vem antes: 
 abacate ou abacaxi?
 Coritibano ou corintiano?

  Outros exemplos:
  Tomamos uma casa decimal.
 2,35>2,231, pois 2,3>2,2
  Tomamos duas casas decimais.
 5,111<5,133
  Tomamos trs casas decimais.
 -4,832>-4,8.333
  Quando so representados na reta, os nmeros reais ficam em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em consequncia: 
<R+>
 Um nmero real *a*  menor que um nmero real *b* quando *a* 
  est representado  esquerda de *b* na reta. 
<R->
<p>
<F->
 <::::w:::::::w:::::::w::::>_r
      a      a<b      b
<F+>

<R+>
 Todo nmero real negativo  menor que zero. 
<R->
 -#,c<0; -5<0; -1,234.567...<0 
<R+>
 O zero  menor que todos os nmeros reais positivos. 
<R->
 0<#,c; 0<5; 0<1,234.567...
<R+>
 Todo nmero real negativo  menor que qualquer nmero real positivo. 
<R->
 -#,c<1; -#,c<#=i; 
  -#,c<0,1.001.000.100.001...
<31>

Exerccios

<R+>
<F->
30. Compare os nmeros, usando < ou >: 
a) #,,ag e #,:ag 
b) #:}dc e #:}da
c) #,:ag e #:}da 
d) #!bb, #!bj, #bj e #bj representam as participaes de clubes paulistas nos campeonatos brasileiros de 2005, 2006, 2007 e 2008, respectivamente. Em que ano a participao dos clubes paulistas foi maior? 

31. Substitua y por <, = ou >:
a) 2y-3
b) -3y-5
c) 35y75
d) -27y-37
e) -511y811
f) 0,75y0,77
g) 2,98y2,957
h) 0,71y7199
i) -0,8.333y0,83.411
j) 1,25y1,2.345.672...
k) `(-0,333...`)y-13
l) `(-1,2.345.678...`)y-1,235
m) 5029y5033
n) -38y-920
o) 1,1.777...y1,123
p) 4,1.111...y4.1111.000
q) 34y45y56
r) 3,1.416y3,1.388
s) -2,10.203y-2,11
t) -23y-0,7
<p> 
32. Coloque estes nmeros reais em ordem crescente: 
#;c; 0,6; 0,626.262...; 0,6.789.101.112...

33. Coloque estes nmeros reais em ordem decrescente: 
0; -#,d; -0,7; -#;c; -0,515.115.111...

_`[{para os exerccios 34 e 35, pea orientao ao professor_`]

34. No seu caderno, desenhe uma reta e marque sobre ela um 
  segmento de 20 cm. Nas extremidades desse segmento, marque os nmeros 0 e 2. Em seguida, localize (aproximadamente) os pontos que representam os seguintes nmeros reais: 
a) 0,5 
b) 1 
c) 1,5 
d) 1,6
e) 1,7
f) 1,62
g) 1,666...
h) 0,75
i) 0,125
j) 0,3.333...
k) 0,1.234.567.891.011...
l) 1,234.567.891.011... 
m) #,}g
n) #",hj
o) 0,858.855.888.555...
<32>

35. Desenhe no caderno um diagrama como o da figura a seguir. 

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::
l !:::::::::::::::::::::::     _
l l !::::::::::::::      _     _
l l l !::::       _      _     _
l l l l _n _   _z  _ _q   _ _r  _
l l l h::::j       _      _     _
l l h::::::::::::::j      _     _
l h:::::::::::::::::::::::j     _
h:::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Agora responda: 
<F->
a) O que significam _n, _z, _q e _r? 
<p>
b) Indique no diagrama onde deve estar cada um dos nmeros do exerccio anterior (inclusive 0 e 2). 
c) Quantos nmeros ficaram em _z mas no em _n? Que nmeros ficam nessa regio? 
<F+>

Operaes em _r 

_`[Segurando um livro, um professor pergunta para trs alunos: "Como se somam (ou se multiplicam) dois nmeros irracionais?"_`]
<R->

  Se tomarmos os nmeros irracionais a=2,4.681.012.141... e b=1,3.579.111.315..., as operaes a+b e a.b resultam em nmeros reais, que podem ser apresentados por meio de valores aproximados. Observe que *a* e *b* tm 10 casas decimais. 
<p>
  Ao considerarmos um valor aproximado, tambm dizemos que arredondamos o nmero. Quando fazemos o arredondamento, desprezamos as demais casas decimais, tomando os seguintes cuidados: 
<R+>
 se o primeiro nmero a ser desprezado  menor que 5, os que permanecem no sofrem alterao; 
 se o primeiro nmero a ser desprezado  5 ou um nmero maior que 5, ento somamos 1 ao ltimo que permanecer. 
<R->
  Preste ateno aos valores aproximados de *a* e *b*: 
<F->
a=2,4.681.012.141... 
com 5 casas: a^=2,46.810 
com 4 casas: a^=2,4.681 
com 3 casas: a^=2,468 
com 2 casas: a^=2,47 
com 1 casa: a^=2,5 
b=1,3.579.111.315... 
com 5 casas: b^=1,35.791 
com 4 casas: b^=1,3.579 
<p>
com 3 casas: b^=1,358 
com 2 casas: b^=1,36 
com 1 casa: b^=1,4 
<F+>

<R+>
(^= l-se: " aproximadamente igual a")
<R->
<33>

  Com base nos valores *a* e *b* apresentados anteriormente, vamos 
calcular um valor aproximado para a+b, considerando *a* e *b* com 4 casas. Veja:
 a^=2,4.681+b^=1,3.579=
  =a+b^=3,8.260

<R+>
_`[{um menino pergunta para uma colega: "Voc lembra como multiplicar decimais?"_`]
<R->

  Vamos calcular um valor aproximado para a.b a partir dos valores arredondados de *a* e *b* com duas casas: 
 a^=2,47 e b^=1,36
 247136=3,3.592
 a.b^=3,3.592
<p> 
Propriedades das operaes em _r 

  Os decimais exatos so nmeros racionais. As contas que acabamos de mostrar foram feitas com nmeros racionais para que pudssemos ter ideia dos nmeros reais a+b e a.b. 
  As operaes de adio e de multiplicao de racionais se estendem para os reais, conservando as propriedades: 
 Associativa 
  Quaisquer que sejam os reais *a*, *b* e *c*, temos: 
 `(a+b`)+c=a+`(b+c`) e 
  `(a.b`).c=a.`(b.c`) 
 Comutativa 
  Quaisquer que sejam os reais *a* e *b*, temos: 
 a+b=b+a e a.b=b.a 
 Elemento neutro 
  O zero  o elemento neutro da adio. Qualquer que seja o real *a*: 
 a+0=a=0+a 
<p>
  O nmero 1  o elemento neutro da multiplicao. Qualquer que seja o real *a*: 
 a.1=a=1.a 
 Elemento oposto 
  Qualquer que seja o nmero real *a*, existe um real -a, tal que: 
 a+`(-a`)=0=`(-a`)+a 
<34>
 Elemento inverso 
  Qualquer que seja o real *a*, a=0, existe um real 1a (ou a-1), tal que: 
 a.a-1=1=a-1.a 
 Distributiva 
  Quaisquer que sejam os reais *a*, *b* e *c*, temos: 
 a.`(b+c`)=a.b+a.c 
 `(b+c`).a=b.a+c.a 
  As reas dos retngulos a seguir ilustram a propriedade distributiva. 
<p>
<F->
    b        c         b      c
  +::::::::w::     +::::::::::
  l           _     l        _  _
a la`(b+c     _   a l  ab    _ac_  
  l           _     l        _  _
  h::::::::w::j     h::::::::j::j

a`(b+c=ab+ac
<F+>

  As operaes de subtrao e de diviso de racionais tambm se estendem para os reais. 
<R+>
 A diferena `(a-b`) de dois nmeros reais *a* e *b*  o nico nmero real que somado a *b* d como resultado o nmero *a*. A diferena `(a-b`)  igual  soma de *a* com o oposto de *b*: 
<R->
 a-b=a+`(-b`) 
<R+>
 O quociente `(ab`) de dois nmeros reais *a* e *b*, b=0,  o nico nmero real que multiplicado por *b* d como resultado o nmero *a*. O quociente 
<p>
  `(ab`)  igual ao produto de *a* pelo inverso de *b*: 
<R->
 ab=a.b-1 
  O quociente tambm se escreve ab.

O erro cometido numa aproximao 

  Quando fazemos uma aproximao, h uma diferena entre o valor exato e o valor aproximado. O valor absoluto dessa diferena  denominado erro cometido na aproximao. 
  Veja os exemplos a seguir. 
 a) 13=0,3.333...
  Considerando 13=0,33, o erro cometido :
 _ 13-0,33_ =_ 13-33
  100_ =_ 1300_ =1300 
  (menor que um centsimo) 
<35>
  Considerando 13=0,333, o erro cometido :
 _ 13-0,333_ =_ 13-
  -3331.000_ =_ 13.000_ =
  =13.000 (menor que um 
  milsimo) 
 b) 23=0,6.666...
  Considerando 23=0,667, o erro cometido :
 _ 23-0,667_ =_ 23-
  -6671.000_ =_ -13.000_ =
  =13.000 (menor que um 
  milsimo) 
  O erro cometido na aproximao ser menor que um dcimo, um centsimo, um milsimo, ..., dependendo do nmero de casas decimais (uma, duas, trs, ...) que se utilizar. 

Exerccios

<R+>
<F->
36. Numa calculadora obtemos o nmero irracional 2=1,41.421.356... D o valor aproximado de 2: 
a) com uma casa decimal 
b) com duas casas 
c) com trs casas 
d) com seis casas 
<p>
37. Usando uma calculadora veremos que 5=2,23.606.797... Escreva o valor aproximado de 5: 
a) com uma casa decimal  
b) com duas casas 
c) com trs casas 
d) com seis casas 

38. Calcule usando as aproximaes com duas casas: 
a) 5+2
b) 5-2 

39. Calcule usando as aproximaes com trs casas: 
a) 22
b) 52
c) 52-22
d) 52

40. Dados os nmeros a=1,333.333... e b=1,757.575...: 
a) use seus valores aproximados com seis casas decimais e cal-
<p>
  cule valores aproximados dos nmeros 6a e a+b; 
b) determine os valores exatos de 6a e a+b; 
c) calcule os erros cometidos nos valores aproximados do item a).

41. Explique a propriedade distributiva a partir da rea da figura a seguir. Aplique a 
  propriedade distributiva e desenvolva os seguintes produtos: 
<F+>
<R->
           
  +::::::::      
  l        _ z    
  l        _  
  r::::::::w      
  l        _
  l        _
  l        _ y
  l        _
  h::::::::j      
      x          
 
<F->
a) x.`(y+z`)
b) x.`(y-z`)
c) `(a+b`).c 
d) `(a-b`).c 
e) `(-a-b`).c 
f) -x.`(y+z`)
g) -x.`(y-z`) 
h) -x.`(-y-z`)
<F+>
<36>

<R+>
<F->
42. Escreva os valores aproximados de *a*, *b* e *c*. 
a) 5,6.789.101.112... 
Com 2 casas: '''
Com 3 casas: '''
Com 4 casas: '''
Com 6 casas: '''
b) 2,6.666.666.666... 
Com 2 casas: '''
Com 3 casas: '''
Com 4 casas: '''
Com 6 casas: '''
c) 0,9.696.969.696... 
Com 2 casas: '''
Com 3 casas: '''
Com 4 casas: '''
Com 6 casas: '''

  Use os nmeros dos itens a), b) e c) do exerccio anterior para resolver os exerccios 43, 44 e 45. 
<p>
43. Calcule usando as aproximaes com 6 casas: 
a) a+b 
b) b+c 
c) c-a
d) a2
e) 3b
f) 11c

44. Determine os valores exatos de: 
a) b+c  
b) 3b
c) 11c-b4
d) b.c 

45. Calcule os erros cometidos nas aproximaes de: 
a) *b* com 2 casas;
b) *b* com 3 casas; 
c) *c* com 2 casas; 
d) *c* com 3 casas. 

46. Calcule: 
a) 2,33.333...1,75 
b) 1,25.555...4,44.444...
c) 0,757.575...0,66.666... 
<p> 
47. Qual  o oposto de -#:dc? E o inverso? 
48. Qual  o inverso do oposto do nmero 2,2.222...? Responda na forma decimal.  
49. Que propriedade pode ser explicada pela figura _`[no representada_`] 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Matemtica em notcia 

<R+>
Trem Eurostar liga Paris e Londres em pouco mais de 2 
  horas 
<R->

  O Eurostar -- trem que cruza o Canal da Mancha, unindo a Europa  Gr-Bretanha -- bateu um novo recorde na viagem entre Paris e Londres nesta tera-feira, ao fazer o percurso em apenas duas horas trs minutos e 39 segundos. 
<p>
  Pela primeira vez desde a inaugurao do Eurostar, o ponto final dos vages que transportavam apenas jornalistas e personalidades foi a estao de St. 
 Pancras, e no Waterloo. 
<37>
  Essa foi a viagem inaugural do trem pela nova estrada de ferro de alta velocidade, que possibilitar a diminuio da durao da viagem do trem de passageiros para Paris em 20 minutos. 
  O governo britnico investiu mais de US$11 bilhes no trecho de quase 110 quilmetros. 
  Por causa dos novos trilhos, o Eurostar no vai mais precisar andar na mesma baixa velocidade dos trens domsticos britnicos e vai viajar a velocidades de cerca de 300 quilmetros por hora. Com isso, a viagem entre Paris e Londres ser de apenas duas horas e 15 minutos a partir de 14 de novembro. O custo elevado da obra foi atribudo, em parte, a grandes 
<p>
desafios de engenharia, que incluram a colocao de trilhos sobre o rio Medway, sob o rio Tmisa e por tneis sob Londres. 
  Sete viagens para Paris e cinco para Bruxelas, na Blgica, vo comear a seguir da nova estao de Ebbsfleet, perto de Dartford, no condado de Kent, a partir de 19 de novembro. 
  Richard Brown, diretor-executivo do Eurostar, disse que agora as viagens entre cidades atendidas 
pelo servio sero mais convenientes e muito mais ecolgicas do que o uso de avies. 
  Segundo Brown, a jornada para Paris, mesmo de pessoas que partem do norte da Inglaterra, ter, de maneira geral, a mesma durao 
dos avies por causa do tempo que leva para fazer o *check-in* em aeroportos. 
  Para ele,  mais rpido e mais frequente, e a preos competitivos em relao aos das companhias areas. 
<p>
  A estao de St. Pancras dever ser ligada, no futuro, ao local onde esto sendo construdas obras para as Olimpadas de 2012, em Stratford, no leste de Londres. 
  O Canal da Mancha tem 21 milhas (aproximadamente 34 km) de 
guas frias (entre 12C e 17C). Em 1875 o ingls 
Matthew Webb foi a primeira 
pessoa a atravessar a nado o Canal, em 21 h e 45 min. Desde ento,
582 nadadores (402 homens e 
180 mulheres) de diversos pases repetiram o feito, nmero que corresponde a apenas 10% do total de tentativas realizadas. 
  Ablio Couto, aos 34 anos, foi o primeiro brasileiro a fazer a travessia do canal a nado, em 1958. Ele levou 12 h e 45 min, 
o que significa uma mdia de 1 quilmetro a cada 23 min. Ele repetiu a travessia outras duas vezes em 1959. 
<p>
<R+>
_`[{mapa no adaptado com a localizao da Irlanda, Reino 
  Unido, Frana, Blgica, 
  Pases Baixo, Oceano 
  Atlntico e Mar do Norte_`]

Fonte: Vincenzo R. Bochicchio. *Atlas Mundo Atual*. So 
  Paulo: Atual, 2003. 
 (British Broadcasting 
  Corporation 04/09/2007. Todos os direitos reservados. Este artigo foi publicado no site de 
notcias da BBC 
  Brasil ~,www.bbcbrasil.~
  com~,) 
<R->

  Responda: 
<R+>
<F->
a) Qual era a durao da viagem do Eurostar no antigo trem? 
b) Quanto tempo a viagem ficou reduzida com o novo trem? 
c) Qual foi a reduo percentual no tempo da viagem? 
d) Qual foi o custo da obra por quilmetro? 
<p>
e) Ao atravessar o Canal da Mancha, o nadador Ablio Couto fez, em mdia, 1 km a cada 23 minutos. E Matthew Webb, o primeiro a realizar a faanha, quantos minutos levou para nadar cada quilmetro? 
<F+>
<R->
<38>

Desafios 

Tijolo e meio 

  Um tijolo pesa um quilo e meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio? 

No parece, mas... 

  Numa prova, o seguinte teste gerou muita discusso: 
0,999.999...  um nmero: 
<F->
a) natural. 
b) inteiro, no natural. 
c) racional, no inteiro. 
d) real, no racional. 
<F+>
  Qual era a alternativa correta?  
<p>
Teste seu conhecimento
 
<R+>
<F->
1. A frao que equivale a um numeral decimal no exato : 
a) #=h
b) -#be
c) #?f
d) #::dj  

2. O nmero 3,125 escrito em forma de frao corresponde a:
a) 3.125999
b) 258
c) 3.125900
d) 3.125990

3. Escrevendo-se #:dj na forma decimal, obtm-se:
a) 0,75  
b) 0,075 
c) 0,0.075 
d) 7,5 

4. A frao geratriz da dzima 0,454.545... : 
a) #?aa
b) #,bj
<p>
c) #?ajj
d) #?ijj

5. A frao geratriz da dzima 2,7.333... :
a) 9133
b) 27310
c) 4115
d) 27.33310.000

6. Assinale a afirmao verdadeira. 
a) 0,313.131...  um nmero natural. 
b) 5,47  um nmero inteiro. 
c) 5,171.717...  um nmero irracional. 
d) -4,656.565...  um nmero racional. 

7. Assinale o nmero irracional. 
a) 0,7 
b) 0,77
c) 0,777... 
d) 0,71.727.374... 
<p>
8. Assinale o maior entre os nmeros seguintes: 
a) 1,0?a*  
b) 1,0?ab* 
c) 1,0.?ajb* 
d) 1,01'a?be* 

9. Assinale a afirmao falsa. 
a) A soma de dois nmeros naturais quaisquer  um nmero natural. 
b) A soma de dois nmeros inteiros quaisquer  um nmero inteiro. 
c) A soma de dois nmeros racionais quaisquer  um nmero racional. 
d) A soma de dois nmeros irracionais quaisquer  um nmero irracional. 

10. Para um certo nmero, apenas uma das afirmaes a seguir  verdadeira:
I. O nmero  natural. 
II. O nmero  inteiro. 
<p>
III. O nmero  racional. 
IV. O nmero  primo. 
  Qual  a afirmao verdadeira? 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
<F+>
<R->
<39>

Matemtica no tempo

Nmeros racionais e irracionais 

  O conjunto dos nmeros reais  formado de dois tipos de nmeros: os racionais e os irracionais. Os primeiros so fceis de identificar, porque podem ser representados por um quociente de dois nmeros inteiros ou por uma frao e se caracterizam por ter uma 
expanso decimal finita ou infinita peridica. Por exemplo: 
 #?h=0,625 e #:aa=0,272.727... 
  Os irracionais so os nmeros reais que no so racionais e, portanto, no podem ser representados por fraes e sua expanso 
<p>
decimal  infinita e no peridica. Por exemplo: 
 2=1,41.421.356... 
  Mas como saber, por exemplo, se na expanso de 2, a partir de alguma casa decimal, um grupo de algarismos no comea a se repetir indefinidamente? Isso  possvel somente mediante uma demonstrao. De fato, por mais que se avance no processo de extrao da raiz quadrada de 2, no se pode concluir que ela no  peridica, dada a infinitude do processo. Assim, povos como os egpcios e os babilnios ignoravam a existncia dos nmeros irracionais, embora usassem aproximaes para eles. 
  Por exemplo, nos problemas geomtricos egpcios em que aparecia uma raiz quadrada, ela era sempre aproximada por um inteiro ou um nmero racional, ignorando-se possveis erros.  o caso de um problema citado num papiro que data, aproximadamente, do ano 300 a.C., em que o escriba substitui 
<p>
o nmero 105 por 10,25 (notao atual). Na verdade, 105=10,24.695.076... 
  Os babilnios, mais adiantados que os egpcios nessa matria, inventaram um processo iterativo para achar a raiz quadrada de um nmero -- processo esse to bom que  usado ainda hoje em programas de computadores. No entanto, eles davam apenas os primeiros passos e j tomavam o resultado obtido (at onde tinham chegado) como resposta para a raiz procurada. 
<40>
  Por esse mtodo obtiveram, em seu sistema de numerao sexagesimal, 1+2560 como valor de 2.  possvel que acreditassem que, continuando o processo, em 
algum ponto obteriam o valor (racional) dessa raiz, o que  falso. 
  Os gregos introduziram as demonstraes na Matemtica e conseguiram provar, h mais de dois milnios, que 2 no  um nmero racional. Isso depois de acreditarem por muito tempo que o universo numrico se resumia essencialmente aos nmeros racionais positivos. O que motivou a busca dessa demonstrao foi a descoberta, por meio do teorema de Pitgoras, que a medida da diagonal de um quadrado de lado 1, por exemplo, no pode ser expressa por uma razo entre nmeros inteiros positivos (a medida da diagonal , nesse caso, 2). 
  Porm, esse feito no significa que os gregos criaram os nmeros irracionais. Na verdade, como eles eram mais fortes em Geometria do que em outras reas da Matemtica, passaram essencialmente a substituir os nmeros reais positivos por segmentos de reta, com os quais operavam muito bem -- inclusive resolviam equaes geometricamente. 
  Se a demonstrao da irracionalidade de 2  relativamente 
<p>
simples, o mesmo no acontece com a do nmero ^p=
 =3,1.415.926.534..., por exemplo. O primeiro matemtico a provar esse resultado foi J. H. Lambert (1728-1777), natural da Alscia (na poca, regio pertencente  Sua e que hoje faz parte da Frana), em 1767. 
  Somente na segunda metade do sculo XIX a questo dos irracionais foi esclarecida a contento, com a criao de teorias consistentes para a construo dos nmeros reais. Com isso, tornou-se possvel justificar resultados at ento nebulosos, como, por exemplo, que se *a* e *b* so nmeros reais positivos ento a.b=ab. 

Explorando a leitura 

<R+>
<F->
1. Observe o nmero a=2,01.001.000.100.001... Suponha que o padro da parte 
<p>
  decimal desse nmero se repete indefinidamente e responda: 
a) Qual  a vigsima casa decimal desse nmero? 
b) O nmero *a*  racional ou irracional? Por qu? 

2. Considere b=3,10.110.111.011.110... e suponha tambm que o padro da parte decimal desse nmero se repete indefinidamente. Sendo *a* nmero do exerccio anterior, mostre que a soma a+b=#!i.

3. Considerando os exerccios 1. e 2., qual das duas concluses  verdadeira? 
a) A soma de dois nmeros irracionais  sempre um nmero racional. 
b) A soma de dois nmeros irracionais pode ser um nmero racional. 
<F+>
<p>
4. Sabe-se que se no denominador de uma frao no h outros fatores primos alm de 2 e 5, ento sua expanso decimal  
  finita e vice-versa. Observe o exemplo seguinte: 
<R->
 120=1?22.5*=?1.5*
  ?22.5.5*=5?22.52*=
  =5100=0,05 
<R+>
  Siga esse mesmo raciocnio para mostrar que: 
<R->
 34=0,75 

<R+>
5. Sem dividir o numerador pelo denominador e sem usar o artifcio do exerccio anterior, mas apenas decompondo o denominador em fatores primos, conclua quais 
  das fraes seguintes tm expanso decimal finita e quais tm expanso infinita: 
<R->
 #:h, #,:abe, #*cj, #=dj, #;ca e 
  #?cd
 
              oooooooooooo
<p>
<41> 
Unidade 2 -- Potenciao 
  e radiciao 
<42>

Captulo 3- Potncia de base 
  real e expoente inteiro 

Como cresce a populao 

  Num determinado pas, tem-se observado que a cada dcada o nmero de habitantes se multiplica por 1,2. Isso significa que, daqui a 10 anos, para cada 100 habitantes de hoje existiro 100.#a,b=120 habitantes, o que representa um crescimento de 20% na dcada. 

<R+>
_`[{duas fotos da praia de Copacabana, uma em preto e branco, tirada em 1915, mostrando a 
  orla com muitas casas. A outra, colorida, tirada em 2005, mostrando muitos prdios altos e uma grande quantidade de banhistas na orla_`]
<R->
<p>
  Se hoje a populao desse pas  10 milhes de habitantes, quanto ser: 
<F->
a) daqui a dez anos? 
b) daqui a vinte anos? 
c) daqui a trinta anos? 
d) daqui a *n* dcadas? 
<F+>
  Vejamos: 
<R+>
<F->
populao hoje :> 10.000.000 
daqui a 10 anos (1 dcada) 
  :> 10.000.000#a,b 
daqui a 20 anos (2 dcadas) 
  :> 10.000.000#a,b#a,b 
daqui a 30 anos (3 dcadas) 
  :> 10.000.000#a,b#a,b#a,b 
<F+>
<R->

Recordando potncias 

  A multiplicao de fatores iguais pode ser representada na forma de potncia: a base  o fator que se repete, e o expoente  a quantidade de vezes que a base 
aparece. Assim, teremos, para o caso da populao daquele pas: 
<p>
<R+>
<F->
daqui a 1 dcada 
  :> 10.000.0001,2
daqui a 2 dcadas 
  :> 10.000.000`(1,2)2 
daqui a 3 dcadas 
  :> 10.000.000`(1,2)3 
<F+>
<R->
  Podemos escrever:
<R+>
 daqui a *n* dcadas :> 10.000.000`(1,2)n que  a resposta ao item d) do problema proposto anteriormente. 
<R->
<43>
  Agora vamos responder s demais perguntas: 
 a) em uma dcada: 
 10.000.0001,2=12.000.000 
 b) em duas dcadas: 
 `(1,2)2=1,21,2=1,44 
 10.000.0001,44=14.400.000 
 c) em trs dcadas: 
 `(1,2)3=1,21,21,2=1,728 
 10.000.0001,728=17.280.000 
  Se daqui a *n* dcadas a populao ser 10.000.000`(1,2)n, como podemos interpretar o resultado dessa expresso: 
<p>
 substituindo *n* por 1? 
 e por 0? 
 e se for por -1? 
  Vamos responder a essas perguntas recordando outras potncias. 
<R+>
 Substituindo *n* por 1, fica 10.000.000`(1,2)1. 
<R->
 `(1,2)1=1,2 
  Esta deve ser a populao daqui a 1 dcada: 10.000.0001,2. 
  O valor de uma potncia de expoente 1  igual  base da potncia. 
<R+>
 Substituindo *n* por 0, fica 10.000.000`(1,2)0. 
<R->
 `(1,2)0=1 
  Esta deve ser a populao daqui a 0 dcada, ou seja,  a populao de hoje: 10.000.000, que  o mesmo que 10.000.0001. 
  O valor de uma potncia de expoente 0 e base no nula  igual a 1. 
<R+>
 Substituindo *n* por -1, fica 10.000.000`(1,2)-1. 
<R->
 `(1,2)-1=11,2 
<p>
  Esta deve ser a populao "daqui a -1 dcada", ou seja, foi a populao de dez anos atrs. Como aquela populao foi multiplicada por 1,2 para obter a de hoje, a populao h uma dcada era a de hoje dividida por 1,2, isto , 10.000.0001,2, que  o mesmo que 10.000.00011,2. 
  O valor de uma potncia de expoente negativo e base no nula  igual ao valor do inverso da potncia de mesma base e expoente oposto ao do expoente dado. 
  Relembrando: 
<F->
`(1,2)-3=1`(1,2)3
`(1,2)-2=1`(1,2)2
`(1,2)-1=11,2
`(1,2)0=1
`(1,2)1=1,2
`(1,2)2=1,44 
`(1,2)3=1,728
<F+>
<44>

Clculo de potncias 

  O smbolo an representa a potncia de base *a* e expoente *n*. 
<p>
  Vejamos como calcular potncias de expoente *n* inteiro. 

Expoente inteiro maior que 1 

  Toda potncia de expoente inteiro maior que 1  igual ao produto de tantos fatores iguais  base quantas forem as unidades do expoente. 
<R+>
 an=aaa'''a :> *n* fatores, quaisquer que sejam o nmero real *a* e o inteiro *n* maior que 1. 
<R->
  Veja alguns exemplos: 
 24=2.2.2.2=16 
 `(-5)3=`(-5)`(-5)`(-5)=
  =-125
 `(73)2=73.73=499
 `(-110)4=`(-110)`(-110)
  `(-110)`(-110)=110.000

Expoente 1 

  Toda potncia de expoente 1  igual  base. 
<R+>
<p>
 a1=a, qualquer que seja o nmero real *a*. 
<R->
  Observe estes exemplos: 
<R+>
<F->
31=3
`(1,4.142)1=1,4.142
`(-2)1=-2
`(-710)1=-710
`(0,333...`)1=0,333... 
<F+>
<R->

Expoente zero 

  Toda potncia de expoente zero e base no nula  igual a 1. 
a0=1, qualquer que seja o nmero real *a*, a=0. 
  Veja estes exemplos: 
<F->
50=1 
`(0,75)0=1 
`(-11)0=1
`(1,717.117.111...`)0=1
`(35)0=1
<F+>
<45>

Expoente inteiro negativo 

  Toda potncia de expoente inteiro negativo e base no nula  igual ao inverso da potncia que 
<p>
se obtm conservando a base e trocando o sinal do expoente. 
<R+>
a-n=1an, quaisquer que sejam o nmero real *a*, no nulo, e o inteiro *n*.
<R->
  Veja alguns exemplos: 
 `(1,5)-2=1`(1,5)2=12,25=
  =1~225100=100225=49
 `(-2)-3=1`(-2)3=1-8=
  =-18
 `(34)-1=1~`(34)1=
  =1~34=43

Outro modo de calcular a-n 

  Vimos anteriormente que a-n=1an. 
   importante observar que `(1a`)n tambm  igual a 1an:
 `(1a`)n=1an
  Por exemplo: 
 `(1a`)4=1a.1a.1a.1a=
  =?1.1.1.1*?a.a.a.a*=
  =1a4. 
  Conclumos, ento, que a-n e `(1a`)n so iguais entre si: 
 a-n=`(1a`)n
<p>
  Explicando em palavras: Uma potncia de expoente negativo  igual  potncia em que a base  o inverso da base dada e o expoente  o oposto do expoente dado. 
  Veja os exemplos a seguir: 
 `(35)-2=`(53)2=
  =53.53=259
 `(-103)-5=`(-310)5=
  =`(-310)`(-310)`(-310)
  `(-310)`(-310)=
  =-243100.000
 `(1,5)-2=`(32)-2=
  =`(23)2=49
 `(34)-1=`(43)1=43
<46>
  Vamos recordar que:
<R+>
 potncia de base positiva  positiva: `(+#,b`)3=#,b.#,b.
  .#,b=#,h 
 potncia de base negativa e expoente par  positiva: `(-#,b`)2=`(-#,b`)`(-#,b`)=#,d 
 potncia de base negativa e expoente mpar  negativa: `(-#,b`)3=`(-#,b`)`(-#,b`)`(-#,b`)=
  =-#,h 
<P>
Exerccios

<F->
1. O volume de bactrias num recipiente dobra a cada hora que passa. 
  Se num dado instante o volume  de 1 cm3: 
a) qual ser o volume aps 10 horas? 
b) qual era o volume 4 horas antes? 
  Indique os resultados na forma de potncia de base 2. 

2. Calcule as potncias, em cada quadro: 

Quadro A:
a) 73 
b) `(-3)2 
c) `(#:b`)2
d) `(-#;e`)2
e) `(-1,1)2
f) 103
g) `(-4)3
h) `(#g`)2
i) `(-#,f`)3
j) `(3,14)1
k) 15
l) `(-1)6
m) `(#,!gac`)1
n) `(-#:aj`)4
o) `(-1,71)0
p) 09
q) `(-10)0
r) `(#,e`)3
s) `(-#=,ae`)1
t) `(0,2)4

Quadro B:
a) 10-2
b) `(-2)-2 
c) `(#:d`)-3
d) `(-#;c`)-2
e) `(0,1)-2
f) 4-2
g) `(-3)-2
h) `(#,e`)-3
i) `(-#,d`)-3
j) `(0,5)-1
k) 6-3
l) `(-1)-4
m) `(#!g`)-2
n) `(#:g`)-2
o) `(1,5)-1
p) 1-5
q) `(-2)-5
r) `(#,}i`)-1
s) `(-#,:aj`)-1
t) `(0,25)-2

3. Devido ao desgaste, o valor de um carro vai diminuindo com o tempo. A cada ano que passa, o valor fica multiplicado por 0,8. Se hoje o carro vale R$20.000,00, quanto valer daqui a 3 anos?  

4. Calcule 100(1,2)n para: 
a) n=0 
b) n=1 
c) n=2 
d) n=3 

  Para calcular o valor de 3x2-x+2, para x=-1, fazemos: 
3x2-x+2=3.`(-1)2-`(-1)+2=
  =3.1+1+2=3+1+2=6 
<P>
5. Calcule o valor de: 
a) x3-x2-x+1, para x=-1
b) 10x2+100x-1.000, para x=5
<47>

6. Calcule o valor de: 
a) 32-23+`(#,b`)0 
b) 4.23-#:b.`(-2)1  
c) 51.3-2+3-1-3.30 
d) 23-2.32 
e) `(-1)10+3.`(-1)5-3.
  .`(-1)6 
f) `(+5)4-`(-5)4  

7. Calcule: 
a) x2-5x+10, para x=2 
b) 3x2+4x-1, para x=0,5
c) x2+3x+1, para x=0,1 
d) 2x3-x2-x+2, para x=-1 

8. O crescimento da populao brasileira  estudado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica), 
  que faz um censo (uma contagem) a cada dez anos. Veja na 
<p>
  tabela a seguir o resultado do censo populacional de alguns anos. 
<R->
<F+>

<F->
 !:::::::::::::::::::::
 l Ano  _ Populao   _
 l 1970 _ 90 milhes  _
 l 1980 _ 120 milhes _
 l 1990 _ 150 milhes _
 l 2000 _ 170 milhes _
 h:::::::j::::::::::::::j
<F+>

  Agora responda: 
<F->
<R+>
a) Por quanto foi multiplicada a populao de 1970 para 1980? E de 1980 para 1990? E de 1990 para 2000? 
b) Em que dcada houve maior crescimento porcentual? 

9. A cada ano que passa, a quantidade de ratos numa cidade fica multiplicada por 1,5. 
a) Qual a taxa porcentual de aumento da quantidade de ratos em um ano? 
<p>
b) A quantidade de hoje ficar multiplicada por quanto daqui a quatro anos? 
c) Em relao  quantidade de hoje, quantos ratos havia h um ano? 
<R->
<F+>

Dando voltas na Terra 

  Em outubro de 1999, atingimos a cifra de 6 bilhes de habitantes na Terra. Se pudssemos formar uma fila indiana com todas essas pessoas, que tamanho teria essa fila? 
  Fazendo uma fila apertadinha, com 3 pessoas em cada metro de fila, ela teria 2 bilhes de metros. Voc consegue imaginar que distncia  essa? O equador (linha imaginria ao redor da maior largura da Terra) tem aproximadamente 40.000 km. Ento, como: 
 2.000.000.000 m=2.000.000 km 
 2.000.000 km40.000 km=50 
<P>
  A fila daria 50 voltas ao redor da Terra! 
<48>

Potncias de 10 e a notao 
  cientfica 

Expoente positivo 

  Para escrever grandes nmeros e operar com eles, recorremos s potncias de base 10 com expoentes positivos. Observe: 
<F->
<R+>
cem =100 (2 zeros) =102 
mil =1.000 (3 zeros) =103
10 mil =10.000 (4 zeros) =
  =104  
100 mil =100.000 (5 zeros) =
  =105 
1 milho =1.000.000 
  (6 zeros) =106 
1 bilho =1.000.000.000 
  (9 zeros) =109 
1 trilho =1.000.000.000.000 
  (12 zeros) =1012 
1 quatrilho = 
  =1.000.000.000.000.000 
  (15 zeros) =1015  
<P>
1 quintilho =
  =1.000.000.000.000.000.000 
  (18 zeros) =1018 
1 sextilho =1021
1 setilho =1024
1 octilho =1027
1 nonilho =1030
1 decilho =1033
<R->
<F+>
  Por exemplo, o nmero de habitantes da Terra em outubro de 1999 era: 
 6.109 
  Essa forma de escrever o nmero  denominada notao cientfica: ela tem um coeficiente (6) e um expoente (9). O coeficiente deve ser um nmero *a* compreendido entre 1 e 10, podendo ser igual a 1, mas menor que 10. 

  Notao cientfica: a10n, sendo 1<=a<10. 

  Vamos passar alguns nmeros escritos em notao cientfica para a forma decimal: 
<R+>
<P>
 9.105= (5 zeros) =900.000 
 3,4.108 (8 zeros) =
  =340.000.000 (a vrgula avana 
  8 casas) 
 5,142.#aj12 (12 zeros) =
  =5.142.000.000.000 
<R->
  E da forma decimal para a notao cientfica: 
 20.000.000 (7 zeros) =
  =2107  
 160.000.000=1,6108 
  1 (parte inteira do coefici-
  ente); 1,6 (coeficiente); 
  60.000.000 (8 casas); 108 
  (8 zeros)
 825.000.000.000=8,251011
  8 (parte inteira do coefici-
  ente); 25.000.000.000 
  (11 casas)
 7.435.000=7,435106 
  435.000 (6 casas)
 22.100.000.000=2,211010 
<49>

Exerccios

<R+>
<F->
10. Escreva na forma decimal: 
a) 3.107 
b) 1,2.106 
<p>
c) 4,15.109 
d) 2,22.1010 

11. Escreva em notao cientfica: 
a) 700.000 
b) 1.800.000.000 
c) 35.000.000
d) 295.000.000.000

12. Responda s seguintes questes: 
a) Qual  o nmero maior: 1,1.1010 ou 9,9.109? 
b) A igualdade 160.000.000=16.107  correta? E 16107  a notao cientfica de 160.000.000? 
<F+>
<R->

Expoente negativo 

  Tambm recorremos s potncias de 10 e  notao cientfica para escrever e operar com nmeros de valores absolutos muito pequenos. 
Para isso usamos expoentes negativos. Veja: 
<p>
<F->
<R+>
1 dcimo =0,1 (1 zero) =
  =10-1  
1 centsimo =0,01 (2 zeros) =
  =10-2
1 milsimo =0,001 (3 zeros) =
  =10-3 
1 dcimo de milsimo =0,0.001 
  (4 zeros) =10-4
1 milionsimo =0,000.001 
  (6 zeros) =10-6  
1 bilionsimo =0,000.000.001 
  (9 zeros) =10-9   
1 trilionsimo =
  =0,000.000.000.001 
  (12 zeros) =10-12   
<R->
<F+>
  Por exemplo, em notao cientfica, o nmero cinco bilionsimos se escreve: 
 5.10-9 
  E na forma decimal: 
 0,000.000.005 
  Veja a converso de uma forma para a outra: 
<R+>
 2,6.10-4 (a vrgula recua 4 casas) =0,00.026   
<p>
 5,25.10-11 (a vrgula recua 11 casas) =
  =0,0.000.000.000.525   
 0,000.333 (4 casas) =
  =3,33.10-4   
<R->
<50>

Exerccios

<R+>
<F->
13. Escreva na forma decimal: 
a) 1,3.10-3 
b) 4,25.10-5
c) 1,11.10-4 
d) 8.10-6 

14. Passe para a notao cientfica: 
a) 0,000.012 
b) 0,000.007 
c) 0,01.111 
d) 0,00.222 
<F+>

15. Qual  menor: 5,5.10-5 ou 6,6.10-6?
<R->
<p>
A luz  rpida! 

  A velocidade da luz no vcuo  de 300.000 km por segundo. Se uma hora tem 3.600 segundos, que distncia percorre a luz em cinco horas? 
  Em cinco horas h 5.3.600 segundos =18.000 segundos. 
  Se em cada segundo a luz percorre 300.000 km, em 18.000 segundos ela percorre 300.000.#ah.jjj, o que d 5.400.000.000 km. 
  Vamos escrever esses nmeros em notao cientfica: 
 300.000=3.105 
 18.000=1,8.104 
 5.400.000.000=5,4.109 
  Ento temos: 
 `(3.105).`(1,8.104)=
  =5,4.109 
  De fato, 3.1,8=5,4 e 105.104=100.000.#aj.jjj=
 =1.000.000.000=109. 
  Repare que 105.104=
 =10?5+4*, ou seja, ao multi-
<p>
plicar as potncias de 10, conservamos a base 10 e somamos os expoentes. Esta  uma das propriedades das potncias, que estudaremos a seguir. 

Propriedades das potncias 

Multiplicao de potncias 
  de mesma base 

  Observe as seguintes multiplicaes de potncias de mesma base e a soma de seus expoentes: 
<R+>
 a5.a3=`(a.a.a.a.a`).`(a.a.a`)=
  =`(a.a.a.a.a.a.a.a`)=a8 -- somando os expoentes: 5+3=8 
 a-2.a6=`(1a`)2.a6=
  =1a.1a.a.a.a.a.a.a=a4 -- somando os expoentes: 
  `(-2)+6=4
<R->
<51>

  Um produto de potncias de mesma base  igual  potncia que se obtm conservando a base e somando os expoentes. 
 am.an=a?m+n* 
<P>
  Veja os exemplos: 
`(0,12`)3.`(0,12)4=
  =`(0,12)?3+4*=`(0,12)7
 x4.x-1.x2=x?4-1+2*=x5 

Diviso de potncias de mesma 
  base 

  Observe as seguintes divises de potncias de mesma base e a subtrao de seus expoentes: 
<R+>
 a7a3=?a.a.a.a.a.a.a*
  ?a.a.a*=a4 -- subtraindo os expoentes: 7-3=4 
 a2a-5=a2`(1a`)5=
  =?a.a*~?1a.1a.1a.1a.
  .1a*=a2~?1a*5=
  =a2.a5=a7 -- subtraindo os expoentes: 2-`(-5`)=7
 a-3a1=`(1~a`)3a=
  =`(1~a.1~a.1~a`)a=
  =`(1~a.1~a.1~a`).1~a=
  =`(1a`)4=a-4 -- subtraindo os expoentes: `(-3`)-1=-4
<R->
<p>
  Um quociente de potncias de mesma base  igual  potncia que se obtm conservando a base e subtraindo os expoentes. 
 aman=a?m-n* a=0
 
  Observe os exemplos: 
<R+>
 107102=10?7-2*=105 
 6106-2=6?10-`(-2)*=
  =612 
 a-1a-2=a?-1-`(-2)*=
  =a?-1+2*=a1=a
<R->

Multiplicao de potncias de 
  mesmo expoente 

  Observe as passagens na multiplicao de duas potncias de mesmo expoente: 
<F->
a3.b3=
  =`(a.a.a`).`(b.b.b`)= 
  =`(a.b`).`(a.b`).`(a.b`)= 
  =`(a.b`)3 
<F+>
  Ento, a3.b3=`(a.b`)3. 
  Assim, por exemplo: 
43.103=`(4.10)3. 
<52>
<p>
  Isso significa que podemos calcular a expresso 43.103 reduzindo-a a uma s potncia de expoente 3, em que a base  o produto das duas bases: 4 e 10. 
  Temos: 
 43.103=(4.10)3=403=
  =40.40.40=64.000 
  Temos, tambm, por exemplo: 
 `(1~2)5.45.`(-3)5=
  =`[1~2.4.`(-3)`]5=
  =`(-6)5
 10-1.`(1~5)-1=
  =`(10.1~5)-1=2-1

  Um produto de potncias de mesmo expoente  igual  potncia que se obtm multiplicando as bases e conservando o expoente. 
 am.bm=`(a.b`)m 

  H situaes em que precisamos aplicar essa propriedade "de trs para a frente": 
 `(a.b`)m=am.bm 
<p>
  Veja os exemplos: 
 `(5a`)2=52.a2=25a2
 `(3.x.y`)2=32.x2.y2=
  =9x2y2 
  No  verdade que `(a+b`)m=
 =am+bm. 
  Por exemplo: `(3+4)2=
 =`(7)2=49, enquanto 32+
 +42=9+16=25. 
  Portanto, `(3+4)2 e 32+
 +42 no so a mesma coisa! 

Diviso de potncias de mesmo 
  expoente 

  Observe as passagens na diviso de duas potncias de mesmo expoente: 
 a3b3=a3~b3=
  =?a.a.a*~?b.b.b*=
  =a~b.a~b.a~b= 
  =`(a~b`)3=`(ab`)3
  Ento, a3b3=`(ab`)3.
  Por exemplo, 32383=
 =`(328)3. 
  Isso significa que podemos calcular a expresso 32383 reduzindo-a a uma s potncia de expoente 3, em que a base  o quociente da diviso das duas bases: 32 e 8. 
<53>
  Temos: 
 32383=`(328)3=43=
  =4.4.4=64 
  Temos, tambm, por exemplo: 
 90-230-2=`(9030)-2=
  =3-2 
 `(7~4)6`(-1~8)6=
  =`[7~4`(-1~8)`]6=
  =`[7~4.`(-8)`]6=`(-14)6

  Um quociente de potncias de mesmo expoente  igual  potncia que se obtm dividindo as bases e conservando o expoente. 
<R+>
 ambm=`(ab`)m `(b=0`) ou am~bm=`(a~b`)m
<R->

  H situaes em que precisamos aplicar essa propriedade "de trs para a frente": 
 `(a~b`)m=am~bm
<P>
  Veja os exemplos: 
 `(a~3)4=a4~34=a4~81
 `(2.x~5)2=`(2.x`)2~52=
  =?22.x2*~52=4x2~25

Potncia de potncia 

  Vamos elevar ao cubo a potncia a5. 
  Temos: 
`(a5)3=a5.a5.a5=
  =a?5+5+5*=a15 -- o produto 
  dos expoentes : 5.3=15
  Agora veja outros exemplos: 
 `(a-2)4=`(a-2)`(a-2)
  `(a-2)`(a-2)=
  =a?-2-2-2-2*=a-8 -- o 
  produto dos expoentes :
  `(-2`).4=-8 
 `(a3)-2=`(1~a3`)2=1~a3.
  .1~a3=1~?a3.a3*=
  =1~a6=a-6 -- o produto dos 
  expoentes  3.`(-2`)=-6 
<p>
  Uma potncia elevada a um dado expoente  igual  potncia que se 
obtm conservando a base e multiplicando os expoentes. 
 `(an`)m=a?n.m* 
<54>

  Ento: 
<R+>
<F->
`(107)11=10?7.11*=
  =1077 
`[`(-1~3)3`]4=
  =`(-1~3`)?3.4*=
  =`(-1~3`)12
 `(x5`)-2=x?5.`(-2)*=x-10 
<F+>
<R->

Exerccios

<R+>
<F->
16. Na Grcia antiga, o maior nmero que tinha um nome era 10.000: ele se chamava 
  *mirade*. Arquimedes, um matemtico grego, intrigado com a quantidade de gros de areia existentes na face da Terra, pensou num mtodo de expressar 
<p>
  nmeros muito grandes, comeando por uma "mirade de mirades". 
a) Escreva uma mirade na forma de potncia de 10. 
b) Quanto  uma mirade de 
  mirades? 

17. Calcule, expressando o resultado em notao cientfica: 
a) `(1,25.104).`(6.108)   
b) `(4,5.107)`(2,5.104) 
c) `(3,2.10-2).`(1,5.10-6)
d) `(6.104).`(5,5.106) 

18. Calcule, reduzindo a uma s potncia: 
a) 103.102 
b) 108105  
c) 24.54 
d) 2-2.3-2.5-2 
e) 603123 
f) 25041254 
g) `(22)3  
h) `(10-1)-2  
<p>
19. Um ano-luz  a distncia que a luz percorre em um ano. 
a) Expresse um ano-luz em quilmetros, em notao cientfica. Aproxime o coeficiente usando uma casa decimal. 
b) A quantos quilmetros da Terra est uma estrela que dela dista 6 anos-luz? 

20. Aplique as propriedades das potncias: 
a) a2.a3.a-1
b) 108105
c) a10.b10.c10
d) `(a.x`)2
e) a5a2
f) `(a~2)3
g) `(?2.a2*~5)3
h) `(x5`)-3
<F+>
<R->

<R+>
21. Na tabela a seguir  dada a decomposio em fatores primos do inteiro *p*. Copie a tabela em seu caderno e complete-a escrevendo a decomposio do inteiro *n*, sendo n=p2. 
<P>
 !::::::::::::::::::::::::::::::::
 l decomposio em fatores primos _
 !:::::::::::::::::::::::::::::::
 l de *p*              _ de n=p2_
 r:::::::::::::::::::::w::::::::::w
 l 23.3.72      _ '''      _
 r:::::::::::::::::::::w::::::::::w
 l 25.32.5      _ '''      _
 r:::::::::::::::::::::w::::::::::w
 l 2a.3b.5c.7d _ '''      _
 h:::::::::::::::::::::j::::::::::j
<55>

<F->
22. Verdadeiro ou falso? (Faa os clculos, se necessrio.) 
a) ?102.104*~103=103
b) `(2x`)10=2x10  
c) `(5.3)2=52.32 
d) `(53)2=5232 
e) `(5+3)2=52+32 
f) `(5-3)2=52-32 

23. Pesquise os dados atuais e escreva em notao cientfica: 
a) a populao do Brasil; 
b) a extenso territorial do Brasil (em km2). 
  Dividindo o resultado do item a) pelo do item b), calcule a densidade demogrfica do pas, isto , o nmero de habitantes por quilmetro quadrado. 

24. Um segundo passa muito rpido. Contando a partir de agora, daqui a quantos dias tero decorrido 8,64.1010 segundos? Vai demorar mais ou menos de 1.000 anos? 

25. Qual  o nmero maior? 
a) 3,2.106 ou 8,4.105 
b) 6,6.10-11 ou 3,9.10-12 

26. Qual  o nmero menor? 
a) 2,5.10-3 ou 8.10-2 
b) 9,9.1021 ou 1,1.1023  

27. Calcule e d o resultado usando a notao cientfica: 
a) `(8.1015)`(2.1012)
b) `(4,5.106)`(9,2.104) 
c) `(2,25.104)`(9.106) 
d) `(2.10-3)`(5.10-8) 
<P>
28. Aplique as propriedades e reduza a uma s potncia: 
a) 106.104 
b) 106104 
c) `(x2)4
d) 34.24
e) a3~b3
f) `(25)2.`(22)-3
g) 52.x2
h) ?54.5*~53
i) a2b2~c2
j) `(10-1)3`(102)-2 

29. Calcule as expresses: 
a) 25-32.2
b) 130-3.23 
c) 104+2.103-6.
  .102-17.101+100
d) 2.35-5.32+6.31-
  -7.30
e) 3-1-`(1~3)2
f) `(2-2-4-2).`(2-1+
  +4-1)
g) `(12+10)2-`(122+102)
h) `(12.10)2-`(122.102) 
<P>
30. Que nmero positivo deve ser colocado no lugar dos pontinhos? 
a) `('''`)2=100
b) `('''`)3=64
c) `('''`)2=4~9
d) `('''`)2=144
e) `('''`)3=27
f) `('''`)3=1~8
g) `('''`)3=1
h) `('''`)2=0,04 
<F+>
<R->
<56>

Desafio 

Um monte de abraos 

  O pessoal do 8 ano organizou uma festa  qual compareceram 15 alunos. 
  Se cada um, ao chegar, der um abrao em todos os presentes, quantos abraos sero dados ao todo?  
<P>
Matemtica em notcia  

Os maiores crebros do mundo 

  Kim Peek l um livro de 300 pginas em 40 minutos. Uma pgina com cada olho. Esse americano de 57 anos j leu 9 mil livros, o que d mais ou menos um a cada dois dias desde a infncia. E com uma diferena em relao a voc: ele no esquece nada do que leu. Kim sabe de cor a histria de 
todos os pases, seus presidentes, quando eles nasceram, quem foram as esposas deles... Recita qualquer trecho da Bblia, do Alcoro ou da estrutura de um nibus espacial. 
  E tudo isso  pouco perto do que o britnico Daniel Tammet faz. Ele simplesmente inventou uma matemtica particular. Pergunte para Daniel quanto , digamos, 27 elevado  5 potncia. Ele vai responder rapidinho que isso d 10.460.353.203. S que sem ter feito uma conta nem decorado nada. Os resultados surgem por mgica na cabea desse ingls tmido de 29 anos. E ele no  incrvel s com nmeros. A rede americana de TV PBS o desafiou a aprender islands, uma lngua que at quem 
nasceu na Islndia acha complicada, em uma semana. 
Sete dias depois, Daniel estava num *talk show* em Reykjavik con-
tando que o idioma deles era 
"mjg fallegur" ("muito bonito") -- era a 11 das lnguas que ele aprendia a falar fluentemente. [...] 

(*Superinteressante*, set. 
  2008.) 

  Aps ler essa notcia, Marco Antonio prometeu ler 1 livro a cada dez dias. 
<R+>
<F->
a) Se cumprir a promessa, quantos livros Marco Antonio ler por ano?  
<P>
b) Daniel no responderia que 275 d o resultado que aparece no texto. Quanto  275? Que potncia de 27 d 10.460.353.203? 
c) Usando o resultado dado no texto e seus conhecimentos das propriedades das potncias, calcule 322. 
d) Onde se situa a Islndia? Qual  sua capital? 
<F+>
<R->

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Fim da Primeira Parte
